全体集合 $U$ の部分集合 $A$, $B$ について、以下の条件が与えられています。 $n(U) = 40$, $n(A) = 18$, $n(B) = 25$, $n(A \cap B) = 6$ このとき、以下の値を求めます。 (1) $n(\overline{B})$ (2) $n(\overline{A \cup B})$ (3) $n(\overline{A} \cap \overline{B})$

1. 問題の内容

全体集合 $U$ の部分集合 $A$, $B$ について、以下の条件が与えられています。

$n(U) = 40$, $n(A) = 18$, $n(B) = 25$, $n(A \cap B) = 6$

このとき、以下の値を求めます。

(1) $n(\overline{B})$

(2) $n(\overline{A \cup B})$

(3) $n(\overline{A} \cap \overline{B})$

2. 解き方の手順

(1) $n(\overline{B})$ を求めるには、全体集合 $U$ の要素数から $B$ の要素数を引きます。

$n(\overline{B}) = n(U) - n(B)$

$n(\overline{B}) = 40 - 25$

$n(\overline{B}) = 15$

(2) $n(\overline{A \cup B})$ を求めるには、まず $n(A \cup B)$ を計算する必要があります。和集合の要素数は、それぞれの集合の要素数を足し合わせて、共通部分の要素数を引くことで求められます。

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$

$n(A \cup B) = 18 + 25 - 6$

$n(A \cup B) = 37$

したがって、$n(\overline{A \cup B})$ は、全体集合 $U$ から $n(A \cup B)$ を引くことで求められます。

$n(\overline{A \cup B}) = n(U) - n(A \cup B)$

$n(\overline{A \cup B}) = 40 - 37$

$n(\overline{A \cup B}) = 3$

(3) $n(\overline{A} \cap \overline{B})$ を求めるには、ド・モルガンの法則を利用します。ド・モルガンの法則によると、$\overline{A} \cap \overline{B} = \overline{A \cup B}$ が成り立ちます。

したがって、$n(\overline{A} \cap \overline{B}) = n(\overline{A \cup B})$ となります。

(2) の結果より、$n(\overline{A \cup B}) = 3$ です。

$n(\overline{A} \cap \overline{B}) = 3$

3. 最終的な答え

(1) $n(\overline{B}) = 15$

(2) $n(\overline{A \cup B}) = 3$

(3) $n(\overline{A} \cap \overline{B}) = 3$