問題は、「球の表面積はなぜ $4\pi r^2$ なのですか？」という質問です。ここで、$r$ は球の半径を表します。

はい、承知しました。以下に、球の表面積が $4\pi r^2$ になる理由の説明を示します。

1. 問題の内容

問題は、「球の表面積はなぜ $4\pi r^2$ なのですか？」という質問です。ここで、$r$ は球の半径を表します。

2. 解き方の手順

球の表面積の公式を導出する方法はいくつかありますが、ここでは直感的に理解しやすい方法を説明します。

a. アルキメデスの方法：

球を、底面の半径が $r$ で高さが $2r$ の円柱に外接させます。この円柱の表面積は、上面と下面の円の面積 $2\pi r^2$ と、側面積 $2\pi r (2r) = 4\pi r^2$ の和で計算できます。したがって、円柱の表面積は、$2\pi r^2 + 4\pi r^2 = 6\pi r^2$ となります。アルキメデスは、球の表面積がこの外接円柱の側面積に等しいことを示しました。

球の表面積 = $4\pi r^2$

b. 微積分を使った導出：

球を、半径 $r$ の円を $z$ 軸を中心に回転させてできる立体と考えます。球の表面積は、回転体の表面積の公式を使って計算できます。

球の表面積を求めるには、まず球の表面を小さな帯状の領域に分割します。それぞれの帯状の領域は、緯度 $\phi$ から $\phi + d\phi$ までの範囲に対応します。

帯状領域の幅は $rd\phi$ であり、半径は $r\sin\phi$ です。したがって、帯状領域の面積 $dA$ は、

$dA = 2\pi (r\sin\phi) (rd\phi) = 2\pi r^2 \sin\phi d\phi$

球全体の表面積 $A$ を求めるには、$\phi$ を $0$ から $\pi$ まで積分します。

$A = \int_{0}^{\pi} 2\pi r^2 \sin\phi d\phi = 2\pi r^2 \int_{0}^{\pi} \sin\phi d\phi$

$\int_{0}^{\pi} \sin\phi d\phi = [-\cos\phi]_{0}^{\pi} = -\cos\pi - (-\cos 0) = -(-1) - (-1) = 1 + 1 = 2$

したがって、

$A = 2\pi r^2 (2) = 4\pi r^2$

3. 最終的な答え

球の表面積は $4\pi r^2$ です。