図1のような、立方体の4つの頂点A, B, C, Dを結んでできる立体Kがある。辺ADの長さが6cmのとき、辺ABの長さを求める問題。答えは（ア）$\sqrt{（イ）}$cmの形で答える。

1. 問題の内容

図1のような、立方体の4つの頂点A, B, C, Dを結んでできる立体Kがある。辺ADの長さが6cmのとき、辺ABの長さを求める問題。答えは（ア）$\sqrt{（イ）}$cmの形で答える。

2. 解き方の手順

立方体の一辺の長さを $a$ とする。図1において、AD, AC, CDは立方体の対角線であるから、その長さはすべて等しい。したがって、$\triangle ADC$は正三角形である。問題よりAD = 6cmなので、AC = CD = 6cmとなる。

$\triangle ABC$において、$AB = BC$であり、$\angle ABC = 90^\circ$であるから、$\triangle ABC$は直角二等辺三角形である。したがって、$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2}$が成り立つ。

$AB = BC = x$ とすると、$AC = \sqrt{x^2 + x^2} = \sqrt{2x^2} = x\sqrt{2}$となる。

$AC = 6$であるから、$x\sqrt{2} = 6$。

$x = \frac{6}{\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$。

したがって、辺ABの長さは$3\sqrt{2}$ cmである。

3. 最終的な答え

ア = 3

イ = 2

したがって、辺ABの長さは$3\sqrt{2}$cm。