一辺が6cmの立方体において、4つの頂点A, B, C, Dを結んでできる立体Kがある。立体Kの辺AD上に点Pを、辺CD上に点Qをそれぞれとり、3つの線分BP, PQ, QBの長さの和が最小となるようにする。このとき、3つの線分の長さの和を求め、(ア) + (イ)√(ウ) の形で答える。

1. 問題の内容

一辺が6cmの立方体において、4つの頂点A, B, C, Dを結んでできる立体Kがある。立体Kの辺AD上に点Pを、辺CD上に点Qをそれぞれとり、3つの線分BP, PQ, QBの長さの和が最小となるようにする。このとき、3つの線分の長さの和を求め、(ア) + (イ)√(ウ) の形で答える。

2. 解き方の手順

BP + PQ + QB の長さが最小となるように点P、Qを選ぶ問題です。

空間における最短経路の問題なので、展開図を考えます。

点B, P, Q, Bが一直線上に並ぶように展開図を描きます。

点BからDまでを立方体の表面を通って結ぶとき、展開図は以下のようになります。

まず、立方体の頂点Bを原点とし、AD方向にx軸、DC方向にy軸をとります。

BからAD上の点P、DC上の点Qを経由してBに戻るようにするには、立方体を展開して、BからB'までを結ぶ直線を考えます。このB'はBの像です。

点Bの座標を(0,0)とすると、点Dの座標は(6,6)、点Aの座標は(6,0)です。

AD上に点P、DC上に点Qを取るので、Bから点P、点Qを経由して再び点Bに戻るように展開します。この展開は、Bを通りADに垂直な線に関して線対称な点B'を考えればよいです。B'の座標は(12,0)となります。

したがって、BP + PQ + QB の最小値は、点Bと点B'を結ぶ線分の長さに等しくなります。

この線分の長さは、三平方の定理から求めることができます。

BB' = $\sqrt{(12-0)^2 + (6-0)^2} = \sqrt{144 + 36} = \sqrt{180} = \sqrt{36 \times 5} = 6\sqrt{5}$

ここで、QはDC上にある必要があるので、点QからADに垂線を下ろし、その交点をQ'とすると、B, P, Q', B'が一直線上にあることになります。

さらに、BP + PQ + QBの長さの和を最小にするには、B, P, Q, Bが一直線上に並ぶ必要があります。

ここで、PはAD上、QはCD上にあるので、展開図におけるB,P,Qを結ぶ線分は一直線になります。

BからB'まで立方体の表面をなぞるような経路は複数存在します。ADの延長上にB'がある場合、BB'の長さはAD + DC + CB = 6+6+6 = 18 となります。

この問題では、BからPを経由し、Qを経由してBに戻るので、展開図を考えると、BからB'を結ぶ線分の長さを最小にすれば良いことが分かります。

展開図上でBとB'を結ぶ直線を考えると、PとQの位置が決まります。

B(0,0), D(6,6), A(6,0), C(0,6)とおくと、B'は、ADを対称軸としたときのBの対称点なので、B'(12,0)となります。

BB' = $\sqrt{(12-0)^2+(0-6)^2} = \sqrt{144+36} = \sqrt{180} = 6\sqrt{5}$.

しかし、これは間違いです。BP + PQ + QBが最小となるのは、B, P, Q, B' が一直線になる場合です。ここで、B'は、CDに関してBと線対称な点です。D(6,6)なので、B'(6,12)となります。

したがって、BB' = $\sqrt{(6-0)^2+(12-0)^2} = \sqrt{36+144} = \sqrt{180} = 6\sqrt{5}$.

ここで、点Pと点Qの位置関係を考えます。PはAD上、QはCD上にあるので、BPとQBがADとCDに対して同じ角度で交わる場合、最短距離となります。

AD = 6cmなので、BD = $\sqrt{6^2+6^2} = 6\sqrt{2}$

AB = 6cmなので、立体Kは正四面体ではありません。

もう一度展開図を描いて考えます。PはAD上、QはCD上にあるので、点Bを通りADに垂直な線に関して線対称な点B'を考えると、B'の座標は(6,0)を基準とすると(12,0)となります。

B(0,0), B'(12,0), D(6,6), C(0,6).

このとき、BB' = $\sqrt{(12-0)^2+(0-6)^2} = \sqrt{144+36} = \sqrt{180} = 6\sqrt{5}$.

したがって、BP + PQ + QB = $6 + 6\sqrt{5}$.

(ア) = 6, (イ) = 6, (ウ) =

5.

3. 最終的な答え

6 + 6√5