関数 $y = x^2$ のグラフ上に2点A, Bがあり、それぞれのx座標は-1, 2である。点Aを通りx軸に平行な直線上にあるx座標が正の点Pを、三角形AOBと三角形AOPの面積が等しくなるようにとる。点Pのx座標を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = x^2$ のグラフ上に2点A, Bがあり、それぞれのx座標は-1, 2である。点Aを通りx軸に平行な直線上にあるx座標が正の点Pを、三角形AOBと三角形AOPの面積が等しくなるようにとる。点Pのx座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、点Aと点Bの座標を求めます。

点Aのx座標は-1なので、$y = (-1)^2 = 1$。よってA(-1, 1)です。

点Bのx座標は2なので、$y = (2)^2 = 4$。よってB(2, 4)です。

点Pは点Aを通りx軸に平行な直線上にあるので、点Pのy座標は1です。

点Pは $y = x^2$ のグラフ上にあるので、$1 = x^2$を満たすxを求めます。

x座標は正であるという条件より、$x = 1$。したがって、P(1, 1)となります。

次に三角形AOBの面積を求めます。

三角形AOBの面積は、原点を基準にすると計算が難しいので、別の方法で求めます。

A(-1,1), B(2,4), O(0,0)なので、それぞれの座標を $(x_1, y_1)$, $(x_2, y_2)$, $(x_3, y_3)$とすると、三角形の面積は

$S = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$

で求められます。

これに代入すると、

$S_{AOB} = \frac{1}{2} |(-1)(4 - 0) + 2(0 - 1) + 0(1 - 4)| = \frac{1}{2} |-4 - 2 + 0| = \frac{1}{2} |-6| = 3$

三角形AOBの面積は3です。

次に三角形AOPの面積を求めます。

点Pの座標を(p, 1)とします。A(-1, 1), O(0, 0), P(p, 1)なので、面積は

$S_{AOP} = \frac{1}{2} |(-1)(0 - 1) + p(1 - 1) + 0(1 - 0)| = \frac{1}{2} |1 + 0 + 0| = \frac{1}{2}$

求めるのは、三角形AOBと三角形AOPの面積が等しくなるような点Pのx座標pです。

点Aを通るx軸に平行な直線上にPがあることから、点Pのy座標は1です。

$P (x, 1)$とおくと、$x^2 = 1$より、$x = 1$ (x>0)

三角形AOBの面積 = 三角形AOPの面積

$3 = \frac{1}{2} \cdot \text{AO} \cdot h$

三角形AOPの面積の公式は使えません。

AOを底辺とすると、PからAOまでの距離が高さになります。

直線AO: $y=x$

点P(p,1)から直線AOまでの距離: $\frac{|p-1|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}$

AOの長さ：$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$

$\frac{1}{2}\cdot\sqrt{2}\cdot\frac{|p-1|}{\sqrt{2}} = 3$

$\frac{|p-1|}{2} = 3$

$|p-1| = 6$

$p-1 = \pm 6$

$p = 7$ or $p = -5$

$p>0$より、$p=7$

3. 最終的な答え

7