一辺の長さが6cmの立方体において、その4つの頂点A, B, C, Dを結んでできる立体Kがある。面ACDを底面としたときの立体Kの高さを求める。答えは$\sqrt{ (\text{ア}) }$の形で答える。

1. 問題の内容

一辺の長さが6cmの立方体において、その4つの頂点A, B, C, Dを結んでできる立体Kがある。面ACDを底面としたときの立体Kの高さを求める。答えは$\sqrt{ (\text{ア}) }$の形で答える。

2. 解き方の手順

立体Kは正四面体である。正四面体ABCDにおいて、面ACDを底面としたときの頂点Bから底面ACDへの垂線の長さを求める。この垂線の長さが、求める高さである。

まず、正四面体の体積を求め、それを底面積で割ることで高さを求める、という方針で解く。

正四面体の体積Vは、立方体から4つの合同な三角錐を取り除いたものとして計算できる。各三角錐は、直角を挟む二辺が6cmの直角三角形を底面とし、高さが6cmである。

したがって、一つの三角錐の体積は、

$V_{\text{三角錐}} = \frac{1}{3} \times (\frac{1}{2} \times 6 \times 6) \times 6 = 36$ cm$^3$

立方体の体積は、

$V_{\text{立方体}} = 6^3 = 216$ cm$^3$

正四面体の体積は、

$V = V_{\text{立方体}} - 4 \times V_{\text{三角錐}} = 216 - 4 \times 36 = 216 - 144 = 72$ cm$^3$

次に、底面ACDの面積Sを求める。ACDは一辺の長さが$6\sqrt{2}$ cmの正三角形である。

正三角形の面積は、$S = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2$で求められる。

$S = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (6\sqrt{2})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 36 \times 2 = 18\sqrt{3}$ cm$^2$

したがって、正四面体の高さhは、体積を底面積で割って3倍したものである。

$h = \frac{3V}{S} = \frac{3 \times 72}{18\sqrt{3}} = \frac{216}{18\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$ cm

求める高さは$4\sqrt{3} = \sqrt{16 \times 3} = \sqrt{48}$ cm

3. 最終的な答え

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