与えられた2次関数 $y = 3x^2 + 18x + 23$ の最小値を求めます。

1. 問題の内容

与えられた2次関数 $y = 3x^2 + 18x + 23$ の最小値を求めます。

2. 解き方の手順

与えられた2次関数を平方完成して、頂点の座標を求めます。

まず、$x^2$の係数で$x$の項までを括ります。

$y = 3(x^2 + 6x) + 23$

次に、括弧の中を平方完成します。$x^2 + 6x$ を平方完成するには、$x$ の係数の半分（つまり $6/2 = 3$）の2乗を足して引きます。

$y = 3(x^2 + 6x + 3^2 - 3^2) + 23$

$y = 3((x+3)^2 - 9) + 23$

括弧を展開します。

$y = 3(x+3)^2 - 27 + 23$

$y = 3(x+3)^2 - 4$

この式は、頂点が $(-3, -4)$ であることを示しています。

$x^2$ の係数が正の数（3）であるため、放物線は下に凸であり、頂点は最小値に対応します。

3. 最終的な答え

最小値は -4 です。