球と立方体があり、それらの表面積の和が一定の値 $k > 0$ に保たれている。球の半径を $r$ とし、球と立方体の体積の和を $V$ とする。 (1) $V$ を $r$ を用いて表す。 (2) $V$ の増減を調べ、$V$ の最小値を求め、そのときの球の半径と立方体の1辺の長さの比を求める。

1. 問題の内容

球と立方体があり、それらの表面積の和が一定の値 $k > 0$ に保たれている。球の半径を $r$ とし、球と立方体の体積の和を $V$ とする。

(1) $V$ を $r$ を用いて表す。

(2) $V$ の増減を調べ、$V$ の最小値を求め、そのときの球の半径と立方体の1辺の長さの比を求める。

2. 解き方の手順

(1) まず、球の表面積 $S_1$ と立方体の表面積 $S_2$ を考える。

球の表面積は $S_1 = 4\pi r^2$。

立方体の1辺の長さを $a$ とすると、立方体の表面積は $S_2 = 6a^2$。

表面積の和が $k$ なので、

$4\pi r^2 + 6a^2 = k$

これから $a^2$ について解くと、

$6a^2 = k - 4\pi r^2$

$a^2 = \frac{k - 4\pi r^2}{6}$

$a = \sqrt{\frac{k - 4\pi r^2}{6}}$

ただし、$k - 4\pi r^2 > 0$ より、$r < \sqrt{\frac{k}{4\pi}}$。

次に、体積の和 $V$ を考える。

球の体積は $V_1 = \frac{4}{3}\pi r^3$。

立方体の体積は $V_2 = a^3 = (\frac{k - 4\pi r^2}{6})^{\frac{3}{2}}$。

よって、$V = V_1 + V_2$ であるから、

$V = \frac{4}{3}\pi r^3 + (\frac{k - 4\pi r^2}{6})^{\frac{3}{2}}$

(2) $V$ の増減を調べるために、$V$ を $r$ で微分する。

$\frac{dV}{dr} = \frac{4}{3}\pi \cdot 3r^2 + \frac{3}{2}(\frac{k - 4\pi r^2}{6})^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{-8\pi r}{6}$

$= 4\pi r^2 + \frac{3}{2}(\frac{k - 4\pi r^2}{6})^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{-4\pi r}{3}$

$= 4\pi r^2 - 2\pi r \sqrt{\frac{k - 4\pi r^2}{6}}$

$= 2\pi r(2r - \sqrt{\frac{k - 4\pi r^2}{6}})$

$\frac{dV}{dr} = 0$ となるのは、$r = 0$ または $2r = \sqrt{\frac{k - 4\pi r^2}{6}}$ のとき。

$r > 0$ より、$2r = \sqrt{\frac{k - 4\pi r^2}{6}}$ のときを考える。

$4r^2 = \frac{k - 4\pi r^2}{6}$

$24r^2 = k - 4\pi r^2$

$(24 + 4\pi)r^2 = k$

$r^2 = \frac{k}{24 + 4\pi} = \frac{k}{4(6 + \pi)}$

$r = \sqrt{\frac{k}{4(6 + \pi)}} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{6 + \pi}}$

このとき、$a^2 = \frac{k - 4\pi r^2}{6} = \frac{k - 4\pi \frac{k}{4(6 + \pi)}}{6} = \frac{k - \frac{\pi k}{6 + \pi}}{6} = \frac{k(6 + \pi) - \pi k}{6(6 + \pi)} = \frac{6k}{6(6 + \pi)} = \frac{k}{6 + \pi}$

$a = \sqrt{\frac{k}{6 + \pi}}$

したがって、$\frac{r}{a} = \frac{\frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{6 + \pi}}}{\sqrt{\frac{k}{6 + \pi}}} = \frac{1}{2}$

このとき、$r = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{6 + \pi}}$ の前後で $\frac{dV}{dr}$ の符号が変わることを確認する。$r < \frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{6 + \pi}}$ のとき、$\frac{dV}{dr} < 0$, $r > \frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{6 + \pi}}$ のとき、$\frac{dV}{dr} > 0$ となるため、$r = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{6 + \pi}}$ のとき、$V$ は最小値をとる。

$V_{min} = \frac{4}{3}\pi (\frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{6 + \pi}})^3 + (\frac{k - 4\pi (\frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{6 + \pi}})^2}{6})^{\frac{3}{2}}$

$= \frac{4}{3}\pi \frac{1}{8} (\frac{k}{6 + \pi})^{\frac{3}{2}} + (\frac{k - 4\pi \frac{k}{4(6 + \pi)}}{6})^{\frac{3}{2}} = \frac{\pi}{6}(\frac{k}{6 + \pi})^{\frac{3}{2}} + (\frac{k - \frac{\pi k}{6 + \pi}}{6})^{\frac{3}{2}}$

$= \frac{\pi}{6} (\frac{k}{6 + \pi})^{\frac{3}{2}} + (\frac{6k}{6(6 + \pi)})^{\frac{3}{2}} = \frac{\pi}{6} (\frac{k}{6 + \pi})^{\frac{3}{2}} + (\frac{k}{6 + \pi})^{\frac{3}{2}}$

$= (\frac{\pi}{6} + 1)(\frac{k}{6 + \pi})^{\frac{3}{2}} = \frac{6 + \pi}{6} (\frac{k}{6 + \pi})^{\frac{3}{2}} = \frac{k^{\frac{3}{2}}}{6\sqrt{6 + \pi}}$

3. 最終的な答え

(1) $V = \frac{4}{3}\pi r^3 + (\frac{k - 4\pi r^2}{6})^{\frac{3}{2}}$

(2) $V$ の最小値は $\frac{k^{\frac{3}{2}}}{6\sqrt{6 + \pi}}$ であり、そのときの球の半径と立方体の1辺の長さの比は $\frac{1}{2}$。