2次不等式 $x^2 - 2x - 4 < 0$ を満たす整数 $x$ をすべて求めよ。

1. 問題の内容

2次不等式 $x^2 - 2x - 4 < 0$ を満たす整数 $x$ をすべて求めよ。

2. 解き方の手順

まず、2次不等式 $x^2 - 2x - 4 < 0$ の解を求めます。

2次方程式 $x^2 - 2x - 4 = 0$ の解を求めるために、解の公式を使用します。

$a = 1, b = -2, c = -4$ なので、解の公式は次のようになります。

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-4)}}{2(1)}$

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 1 \pm \sqrt{5}$

したがって、$x = 1 + \sqrt{5}$ または $x = 1 - \sqrt{5}$ です。

$\sqrt{5}$ の近似値は2.236なので、$1 + \sqrt{5} \approx 1 + 2.236 = 3.236$ であり、$1 - \sqrt{5} \approx 1 - 2.236 = -1.236$ です。

したがって、$x^2 - 2x - 4 < 0$ を満たす $x$ の範囲は、 $1 - \sqrt{5} < x < 1 + \sqrt{5}$ すなわち、およそ $-1.236 < x < 3.236$ となります。

この範囲にある整数 $x$ は、$-1, 0, 1, 2, 3$ です。

3. 最終的な答え

$x = -1, 0, 1, 2, 3$