問題は2つあります。 (1) 数列 $\{3, 5, 10, 18, 29, 43, \dots\}$ の一般項 $a_n = \frac{1}{2}n^2 - \frac{3}{2}n + 5$ の係数を求める問題です。 (2) 初項から第n項までの和が $S_n = 2n^2 + 5n - 3$ で表されるとき、数列の一般項 $a_n (n \geq 2)$と$a_1$を求める問題です。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

(1) 数列 $\{3, 5, 10, 18, 29, 43, \dots\}$ の一般項 $a_n = \frac{1}{2}n^2 - \frac{3}{2}n + 5$ の係数を求める問題です。

(2) 初項から第n項までの和が $S_n = 2n^2 + 5n - 3$ で表されるとき、数列の一般項 $a_n (n \geq 2)$と$a_1$を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 数列 $\{3, 5, 10, 18, 29, 43, \dots\}$ の階差数列を求めます。

階差数列は $\{2, 5, 8, 11, 14, \dots\}$ となり、これは初項2、公差3の等差数列です。

その一般項 $b_n$ は、

$b_n = 2 + (n-1) \times 3 = 3n - 1$

元の数列の一般項 $a_n$ は $n \geq 2$ において、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k = 3 + \sum_{k=1}^{n-1} (3k - 1)$

$= 3 + 3\sum_{k=1}^{n-1} k - \sum_{k=1}^{n-1} 1$

$= 3 + 3 \cdot \frac{(n-1)n}{2} - (n-1)$

$= 3 + \frac{3n^2 - 3n}{2} - n + 1$

$= \frac{6 + 3n^2 - 3n - 2n + 2}{2}$

$= \frac{3n^2 - 5n + 8}{2}$

$= \frac{3}{2}n^2 - \frac{5}{2}n + 4$

$a_n = \frac{3}{2}n^2 - \frac{5}{2}n + 4$は$n=1$のとき$a_1= \frac{3}{2}-\frac{5}{2}+4 = 3$となり、与えられた数列と一致します。

(2) $S_n = 2n^2 + 5n - 3$ のとき、

$n \geq 2$ において、

$a_n = S_n - S_{n-1}$

$= (2n^2 + 5n - 3) - [2(n-1)^2 + 5(n-1) - 3]$

$= 2n^2 + 5n - 3 - [2(n^2 - 2n + 1) + 5n - 5 - 3]$

$= 2n^2 + 5n - 3 - [2n^2 - 4n + 2 + 5n - 8]$

$= 2n^2 + 5n - 3 - (2n^2 + n - 6)$

$= 4n + 3$

$n=1$ のとき、 $a_1 = S_1 = 2(1)^2 + 5(1) - 3 = 2 + 5 - 3 = 4$

3. 最終的な答え

(1) 数列 $\{3, 5, 10, 18, 29, 43, \dots\}$ の一般項は $a_n = \frac{3}{2}n^2 - \frac{5}{2}n + 4$です。

よって、1は3、3は5、4は2です。

(2) 数列の一般項は、$n \geq 2$ において、 $a_n = 4n + 3$です。

$n=1$ のとき、$a_1 = 4$です。

よって、6は4、7は3、8は4です。