与えられた式 $x^3 - xy^2 - x^2 - y^2 - x + 1$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^3 - xy^2 - x^2 - y^2 - x + 1$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、式を整理します。

$x^3 - x^2 - x + 1 - xy^2 - y^2$

次に、共通因数を見つけてくくり出します。

最初の4項は $x$ に関する式で、後の2項は $y$ に関する式であることに注目し、それぞれを因数分解します。

$x^3 - x^2 - x + 1$ から $x^2$ をくくり出すと、

$x^2(x - 1) - (x - 1) = (x^2 - 1)(x - 1) = (x - 1)(x + 1)(x - 1) = (x - 1)^2(x + 1)$

$-xy^2 - y^2$ から $-y^2$ をくくり出すと、

$-y^2(x + 1)$

したがって、

$x^3 - x^2 - x + 1 - xy^2 - y^2 = (x - 1)^2(x + 1) - y^2(x + 1) = (x + 1)((x - 1)^2 - y^2)$

ここで、$(x - 1)^2 - y^2$ を因数分解するために、二乗の差の公式 $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ を用います。

$(x - 1)^2 - y^2 = (x - 1 - y)(x - 1 + y)$

したがって、

$(x + 1)((x - 1)^2 - y^2) = (x + 1)(x - y - 1)(x + y - 1)$

3. 最終的な答え

$(x+1)(x-y-1)(x+y-1)$