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定積分 $\int_3^x f(t) dt = 3x^2 - 7x - a$ を満たす関数 $f(t)$ と定数 $a$ の値を求める。

解析学定積分微積分学の基本定理積分
2025/3/20

1. 問題の内容

定積分 ∫3xf(t)dt=3x2−7x−a\int_3^x f(t) dt = 3x^2 - 7x - a を満たす関数 f(t)f(t) と定数 aa の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、両辺を xx で微分します。微積分学の基本定理より、
ddx∫3xf(t)dt=f(x)\frac{d}{dx} \int_3^x f(t) dt = f(x)
また、右辺の微分は
ddx(3x2−7x−a)=6x−7\frac{d}{dx} (3x^2 - 7x - a) = 6x - 7
したがって、f(x)=6x−7f(x) = 6x - 7 となります。
次に、f(t)f(t) を求めたので、f(t)=6t−7f(t) = 6t - 7 を元の積分に代入して、aa の値を求めます。
∫3x(6t−7)dt=3x2−7x−a\int_3^x (6t - 7) dt = 3x^2 - 7x - a
左辺を計算すると、
∫3x(6t−7)dt=[3t2−7t]3x=(3x2−7x)−(3(32)−7(3))=(3x2−7x)−(27−21)=3x2−7x−6\int_3^x (6t - 7) dt = [3t^2 - 7t]_3^x = (3x^2 - 7x) - (3(3^2) - 7(3)) = (3x^2 - 7x) - (27 - 21) = 3x^2 - 7x - 6
したがって、
3x2−7x−6=3x2−7x−a3x^2 - 7x - 6 = 3x^2 - 7x - a
両辺を比較して、a=6a = 6 を得ます。

3. 最終的な答え

f(t)=6t−7f(t) = 6t - 7
a=6a = 6

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