定積分 $\int_3^x f(t) dt = 3x^2 - 7x - a$ を満たす関数 $f(t)$ と定数 $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

定積分 $\int_3^x f(t) dt = 3x^2 - 7x - a$ を満たす関数 $f(t)$ と定数 $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、両辺を $x$ で微分します。微積分学の基本定理より、

$$\frac{d}{dx} \int_3^x f(t) dt = f(x)$$

また、右辺の微分は

$$\frac{d}{dx} (3x^2 - 7x - a) = 6x - 7$$

したがって、$f(x) = 6x - 7$ となります。

次に、$f(t)$ を求めたので、$f(t) = 6t - 7$ を元の積分に代入して、$a$ の値を求めます。

$$\int_3^x (6t - 7) dt = 3x^2 - 7x - a$$

左辺を計算すると、

$$\int_3^x (6t - 7) dt = [3t^2 - 7t]_3^x = (3x^2 - 7x) - (3(3^2) - 7(3)) = (3x^2 - 7x) - (27 - 21) = 3x^2 - 7x - 6$$

したがって、

$$3x^2 - 7x - 6 = 3x^2 - 7x - a$$

両辺を比較して、$a = 6$ を得ます。

3. 最終的な答え

$f(t) = 6t - 7$

$a = 6$