$\sqrt{2}$, $\sqrt{(16)}$, $(17)$, $\sqrt{(18)}$, $3\sqrt{6}, ...$ が等比数列になるように、(16), (17), (18) に入る数を求めます。

1. 問題の内容

$\sqrt{2}$, $\sqrt{(16)}$, $(17)$, $\sqrt{(18)}$, $3\sqrt{6}, ...$ が等比数列になるように、(16), (17), (18) に入る数を求めます。

2. 解き方の手順

まず、初項を $a = \sqrt{2}$、第5項を $ar^4 = 3\sqrt{6}$ とします。$r$ は公比です。

$\frac{ar^4}{a} = \frac{3\sqrt{6}}{\sqrt{2}}$

$r^4 = 3\sqrt{3} = 3^{3/2}$

$r = (3^{3/2})^{1/4} = 3^{3/8}$

よって、各項は次のようになります。

第1項: $a = \sqrt{2} = 2^{1/2}$

第2項: $ar = 2^{1/2} \cdot 3^{3/8}$

第3項: $ar^2 = 2^{1/2} \cdot (3^{3/8})^2 = 2^{1/2} \cdot 3^{3/4}$

第4項: $ar^3 = 2^{1/2} \cdot (3^{3/8})^3 = 2^{1/2} \cdot 3^{9/8}$

第5項: $ar^4 = 2^{1/2} \cdot (3^{3/8})^4 = 2^{1/2} \cdot 3^{3/2} = 3\sqrt{6}$

ここで、問題文中の表記に合わせて書き換えていきます。

第2項: $\sqrt{(16)} = ar = 2^{1/2} \cdot 3^{3/8} = (2 \cdot 3^{3/4})^{1/2} = \sqrt{2 \cdot 3^{3/4}} = \sqrt{2\sqrt[4]{27}}$

したがって、$(16) = 2\sqrt[4]{27} = 2 \cdot 27^{1/4} = 2\cdot(3^3)^{1/4} = 2\cdot 3^{3/4} = 2\sqrt[4]{27}$

第3項: $(17) = ar^2 = 2^{1/2} \cdot 3^{3/4} = \sqrt{2} \cdot 3^{3/4} = \sqrt{2} \cdot \sqrt[4]{27} = \sqrt{2} \cdot \sqrt[4]{3^3} = \sqrt{2} \cdot \sqrt[4]{27}$

第4項: $\sqrt{(18)} = ar^3 = 2^{1/2} \cdot 3^{9/8} = (2 \cdot 3^{9/4})^{1/2} = \sqrt{2\cdot 3^{9/4}} = \sqrt{2\cdot3^{2} \cdot 3^{1/4}} = \sqrt{18\sqrt[4]{3}} = \sqrt{2 \cdot 3^{9/4}} = \sqrt{2 \cdot 3^{2+\frac{1}{4}}}=\sqrt{18\sqrt[4]{3}}$

したがって、$(18) = 18\sqrt[4]{3}$

元の画像の入力欄にあった候補を見てみると、

(16): $2 \times 2 \times 8 = 8$

(17): $2$

(18): $2$

となっていますが、これは誤りです。

3. 最終的な答え

(16) : $2 \cdot 3^{3/4} = 2\sqrt[4]{27}$

(17) : $\sqrt{2} \cdot 3^{3/4} = \sqrt{2}\sqrt[4]{27}$

(18) : $18\sqrt[4]{3}$