35番は与えられた式を因数分解する問題、36番は与えられた式の値を求める問題です。具体的には、以下の6つの小問題を解く必要があります。 (1) $36x^2 - 9$ の因数分解 (2) $(x-y)^2 - x + y$ の因数分解 (3) $12x^2 - 16xy + 5y^2$ の因数分解 (4) $(x-2y)^2 + 4(x-2y) - 5$ の因数分解 (5) $|2 - \sqrt{7}|$ の値 (6) $|\sqrt{10} - 3| + |1 - \sqrt{10}|$ の値

1. 問題の内容

35番は与えられた式を因数分解する問題、36番は与えられた式の値を求める問題です。具体的には、以下の6つの小問題を解く必要があります。

(1) $36x^2 - 9$ の因数分解

(2) $(x-y)^2 - x + y$ の因数分解

(3) $12x^2 - 16xy + 5y^2$ の因数分解

(4) $(x-2y)^2 + 4(x-2y) - 5$ の因数分解

(5) $|2 - \sqrt{7}|$ の値

(6) $|\sqrt{10} - 3| + |1 - \sqrt{10}|$ の値

2. 解き方の手順

(1) $36x^2 - 9$ の因数分解

これは差の平方の形を利用します。

$36x^2 - 9 = (6x)^2 - 3^2$

$= (6x + 3)(6x - 3)$

さらに、それぞれの括弧から3をくくり出すことができます。

$= 3(2x + 1) \cdot 3(2x - 1)$

$= 9(2x + 1)(2x - 1)$

(2) $(x-y)^2 - x + y$ の因数分解

$-(x-y)$を作り出せることに注目します。

$(x-y)^2 - x + y = (x-y)^2 - (x - y)$

$= (x-y)((x-y) - 1)$

$= (x-y)(x-y-1)$

(3) $12x^2 - 16xy + 5y^2$ の因数分解

これはたすき掛けを利用します。

$12x^2 - 16xy + 5y^2 = (6x - 5y)(2x - y)$

(4) $(x-2y)^2 + 4(x-2y) - 5$ の因数分解

$x-2y = A$ と置換すると、

$A^2 + 4A - 5 = (A + 5)(A - 1)$

ここで、$A = x - 2y$ を代入すると、

$(x - 2y + 5)(x - 2y - 1)$

(5) $|2 - \sqrt{7}|$ の値

$\sqrt{7}$ は2よりも大きいので、$2 - \sqrt{7}$ は負の数です。

したがって、$|2 - \sqrt{7}| = -(2 - \sqrt{7}) = \sqrt{7} - 2$

(6) $|\sqrt{10} - 3| + |1 - \sqrt{10}|$ の値

$\sqrt{10}$ は3よりも大きいので、$\sqrt{10} - 3$ は正の数です。

$\sqrt{10}$ は1よりも大きいので、$1 - \sqrt{10}$ は負の数です。

したがって、

$|\sqrt{10} - 3| + |1 - \sqrt{10}| = (\sqrt{10} - 3) + -(1 - \sqrt{10})$

$= \sqrt{10} - 3 - 1 + \sqrt{10}$

$= 2\sqrt{10} - 4$

3. 最終的な答え

(1) $9(2x + 1)(2x - 1)$

(2) $(x - y)(x - y - 1)$

(3) $(6x - 5y)(2x - y)$

(4) $(x - 2y + 5)(x - 2y - 1)$

(5) $\sqrt{7} - 2$

(6) $2\sqrt{10} - 4$