与えられた漸化式から数列の一般項 $a_n$ を求める問題です。3つの小問があります。 (1) $a_1 = 2$, $a_{n+1} = a_n + 3n^2 - n$ のとき、$a_n = n^3 - \boxed{1} n^2 + n + \boxed{2}$ (2) $a_1 = 1$, $a_{n+1} = 2a_n + 3^n$ のとき、$a_n = \boxed{3} \cdot \boxed{3}^n - \boxed{4}^n$ (3) $a_1 = 1$, $a_{n+1} = 2a_n + 3n$ のとき、$a_n = \boxed{5} \cdot \boxed{6}^{n-1} - \boxed{7} n - \boxed{8}$

1. 問題の内容

与えられた漸化式から数列の一般項 $a_n$ を求める問題です。3つの小問があります。

(1) $a_1 = 2$, $a_{n+1} = a_n + 3n^2 - n$ のとき、$a_n = n^3 - \boxed{1} n^2 + n + \boxed{2}$

(2) $a_1 = 1$, $a_{n+1} = 2a_n + 3^n$ のとき、$a_n = \boxed{3} \cdot \boxed{3}^n - \boxed{4}^n$

(3) $a_1 = 1$, $a_{n+1} = 2a_n + 3n$ のとき、$a_n = \boxed{5} \cdot \boxed{6}^{n-1} - \boxed{7} n - \boxed{8}$

2. 解き方の手順

(1) $a_{n+1} = a_n + 3n^2 - n$ より、階差数列を考えます。

$a_{n+1} - a_n = 3n^2 - n$

$n \ge 2$ のとき

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (3k^2 - k) = 2 + 3 \sum_{k=1}^{n-1} k^2 - \sum_{k=1}^{n-1} k$

$= 2 + 3 \cdot \frac{1}{6}(n-1)n(2n-1) - \frac{1}{2}(n-1)n = 2 + \frac{1}{2}(n-1)n(2n-1) - \frac{1}{2}(n-1)n$

$= 2 + \frac{1}{2}(n-1)n(2n-1-1) = 2 + (n-1)n(n-1) = 2 + n(n-1)^2 = 2 + n(n^2 - 2n + 1) = 2 + n^3 - 2n^2 + n$

$= n^3 - 2n^2 + n + 2$

$n=1$ のとき、$a_1 = 1^3 - 2 \cdot 1^2 + 1 + 2 = 1 - 2 + 1 + 2 = 2$ となり、一致します。

したがって、$a_n = n^3 - 2n^2 + n + 2$

(2) $a_{n+1} = 2a_n + 3^n$

両辺を $3^{n+1}$ で割ると、

$\frac{a_{n+1}}{3^{n+1}} = \frac{2}{3} \cdot \frac{a_n}{3^n} + \frac{1}{3}$

$b_n = \frac{a_n}{3^n}$ とおくと、$b_{n+1} = \frac{2}{3} b_n + \frac{1}{3}$

$b_{n+1} - 1 = \frac{2}{3}(b_n - 1)$

$b_n - 1$ は初項 $b_1 - 1 = \frac{a_1}{3^1} - 1 = \frac{1}{3} - 1 = -\frac{2}{3}$、公比 $\frac{2}{3}$ の等比数列

$b_n - 1 = -\frac{2}{3} \cdot (\frac{2}{3})^{n-1} = -\frac{2^n}{3^n}$

$b_n = 1 - \frac{2^n}{3^n}$

$a_n = 3^n b_n = 3^n (1 - (\frac{2}{3})^n) = 3^n - 2^n$

(3) $a_{n+1} = 2a_n + 3n$

$a_{n+1} + An + B = 2(a_n + A(n-1) + B)$ となるように $A, B$ を定める。

$a_{n+1} + An + B = 2a_n + 2A(n-1) + 2B$

$a_{n+1} = 2a_n + 2A(n-1) + 2B - An - B = 2a_n + (2A - A)n + (2B - 2A - B) = 2a_n + An + (B - 2A)$

係数を比較して、$A = 3$, $B - 2A = 0$ より $B = 6$.

$a_{n+1} + 3n + 6 = 2(a_n + 3(n-1) + 6)$

$b_n = a_n + 3n + 3$ とおくと、$b_{n+1} = 2 b_n$

$b_1 = a_1 + 3 \cdot 1 + 3 = 1 + 3 + 3 = 7$

$b_n = 7 \cdot 2^{n-1}$

$a_n = b_n - 3n - 3 = 7 \cdot 2^{n-1} - 3n - 3$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = n^3 - 2n^2 + n + 2$

(2) $a_n = 3^n - 2^n$

(3) $a_n = 7 \cdot 2^{n-1} - 3n - 3$