数列 $1 \cdot 3, 2 \cdot 5, 3 \cdot 7, 4 \cdot 9, \dots$ の初項から第 $n$ 項までの和を求め、その結果が $\frac{1}{6}n(n + \boxed{?})(\boxed{?}n + \boxed{?})$ の形で表される時の $\boxed{?}$ に入る数字を答える問題です。

1. 問題の内容

数列 $1 \cdot 3, 2 \cdot 5, 3 \cdot 7, 4 \cdot 9, \dots$ の初項から第 $n$ 項までの和を求め、その結果が $\frac{1}{6}n(n + \boxed{?})(\boxed{?}n + \boxed{?})$ の形で表される時の $\boxed{?}$ に入る数字を答える問題です。

2. 解き方の手順

まず、数列の一般項を求めます。

第 $n$ 項は $n(2n + 1)$ と表せます。

次に、この数列の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を計算します。

$S_n = \sum_{k=1}^{n} k(2k+1)$

$S_n = \sum_{k=1}^{n} (2k^2 + k)$

$S_n = 2 \sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

よって、

$S_n = 2 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2}$

$S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{3} + \frac{n(n+1)}{2}$

$S_n = \frac{n(n+1)}{6} [2(2n+1) + 3]$

$S_n = \frac{n(n+1)}{6} [4n + 2 + 3]$

$S_n = \frac{n(n+1)(4n+5)}{6}$

$S_n = \frac{1}{6}n(n+1)(4n+5)$

3. 最終的な答え

したがって、求める答えは

ト = 1

ナ = 4

ニ = 5

$\frac{1}{6}n(n+1)(4n+5)$