初項 $a_1 = 7$ で、漸化式 $a_{n+1} = 6a_n - 10$ で定められた数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求める問題です。求める一般項は $a_n = \text{シ} \cdot \text{ス}^{n-1} + \text{セ}$ の形になっています。

1. 問題の内容

初項 $a_1 = 7$ で、漸化式 $a_{n+1} = 6a_n - 10$ で定められた数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求める問題です。求める一般項は $a_n = \text{シ} \cdot \text{ス}^{n-1} + \text{セ}$ の形になっています。

2. 解き方の手順

まず、漸化式 $a_{n+1} = 6a_n - 10$ を変形します。特性方程式 $x = 6x - 10$ を解くと、

$5x = 10$

$x = 2$

となります。

よって、漸化式は

$a_{n+1} - 2 = 6(a_n - 2)$

と変形できます。

$b_n = a_n - 2$ とおくと、$b_{n+1} = 6b_n$ となり、数列 $\{b_n\}$ は公比 $6$ の等比数列です。

初項 $b_1$ は、$b_1 = a_1 - 2 = 7 - 2 = 5$ となります。

したがって、$b_n = 5 \cdot 6^{n-1}$ となります。

$a_n = b_n + 2$ なので、$a_n = 5 \cdot 6^{n-1} + 2$ となります。

3. 最終的な答え

したがって、数列 $\{a_n\}$ の一般項は、$a_n = 5 \cdot 6^{n-1} + 2$ です。