$\sin x = \frac{\sqrt{5}}{3}$ (ただし $0^\circ \le x \le 90^\circ$)のとき、$\cos x$, $\tan x$, $\cos 2x$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\sin x = \frac{\sqrt{5}}{3}$ (ただし $0^\circ \le x \le 90^\circ$)のとき、$\cos x$, $\tan x$, $\cos 2x$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\cos x$ を求める。三角関数の基本公式 $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ より、

$$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x = 1 - \left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right)^2 = 1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}$$

$0^\circ \le x \le 90^\circ$ より $\cos x \ge 0$ なので、

$$\cos x = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$$

次に、$\tan x$ を求める。

$$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\frac{\sqrt{5}}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$$

最後に、$\cos 2x$ を求める。$\cos 2x$ の公式は $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$ であるから、

$$\cos 2x = \left(\frac{2}{3}\right)^2 - \left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right)^2 = \frac{4}{9} - \frac{5}{9} = -\frac{1}{9}$$

3. 最終的な答え

$\cos x = \frac{2}{3}$

$\tan x = \frac{\sqrt{5}}{2}$

$\cos 2x = -\frac{1}{9}$