球 $x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 2y = 11$ と平面 $2x + y + 2z = 12$ について、以下の問いに答える問題です。 (1) 球の中心Cを通り平面に垂直な直線の方程式を求めよ。 (2) (1) で求めた直線と平面との交点Hの座標を求めよ。 (3) 球と平面が交わってできる図形は中心がHの円になる。この円の半径rの値を求めよ。

1. 問題の内容

球 $x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 2y = 11$ と平面 $2x + y + 2z = 12$ について、以下の問いに答える問題です。

(1) 球の中心Cを通り平面に垂直な直線の方程式を求めよ。

(2) (1) で求めた直線と平面との交点Hの座標を求めよ。

(3) 球と平面が交わってできる図形は中心がHの円になる。この円の半径rの値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 球の方程式を平方完成して、中心Cの座標と半径を求める。

$x^2 - 2x + y^2 - 2y + z^2 = 11$

$(x-1)^2 - 1 + (y-1)^2 - 1 + z^2 = 11$

$(x-1)^2 + (y-1)^2 + z^2 = 13$

よって、球の中心Cの座標は $(1, 1, 0)$ であり、半径は $\sqrt{13}$ である。

平面 $2x + y + 2z = 12$ の法線ベクトルは $\vec{n} = (2, 1, 2)$ である。

点C $(1, 1, 0)$ を通り、法線ベクトル $\vec{n} = (2, 1, 2)$ に平行な直線の方程式は、

$\frac{x-1}{2} = \frac{y-1}{1} = \frac{z}{2} = t$ と表せる。

したがって、求める直線の方程式は

$x = 2t + 1$

$y = t + 1$

$z = 2t$

(2) (1)で求めた直線と平面の交点Hの座標を求める。

$x = 2t + 1$

$y = t + 1$

$z = 2t$

を $2x + y + 2z = 12$ に代入すると、

$2(2t + 1) + (t + 1) + 2(2t) = 12$

$4t + 2 + t + 1 + 4t = 12$

$9t + 3 = 12$

$9t = 9$

$t = 1$

したがって、交点Hの座標は、

$x = 2(1) + 1 = 3$

$y = 1 + 1 = 2$

$z = 2(1) = 2$

よって、交点Hの座標は $(3, 2, 2)$ である。

(3) 球と平面が交わってできる円の半径rを求める。

球の中心Cと平面の距離dを求める。

$d = \frac{|2(1) + 1(1) + 2(0) - 12|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2}} = \frac{|2 + 1 - 12|}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \frac{|-9|}{\sqrt{9}} = \frac{9}{3} = 3$

円の半径rは、球の半径Rと中心Cから平面までの距離dを用いて、三平方の定理から求めることができる。

$r^2 + d^2 = R^2$

$r^2 = R^2 - d^2$

$r^2 = (\sqrt{13})^2 - 3^2 = 13 - 9 = 4$

$r = \sqrt{4} = 2$

したがって、円の半径は 2 である。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{x-1}{2} = \frac{y-1}{1} = \frac{z}{2}$　もしくは、$x = 2t + 1, y = t + 1, z = 2t$

(2) $(3, 2, 2)$

(3) $2$