問題は、$\theta = 30^\circ$ のとき、以下の三角比の相互関係が成り立つことを確かめることです。 1. $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$

1. 問題の内容

問題は、$\theta = 30^\circ$ のとき、以下の三角比の相互関係が成り立つことを確かめることです。

1. $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$

2. $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$

3. $1 + \tan^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

2. 解き方の手順

$\theta = 30^\circ$ のとき、$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$ であることを利用します。

1. $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ の場合:

$\frac{\sin 30^\circ}{\cos 30^\circ} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \tan 30^\circ$ となり、成り立ちます。

2. $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ の場合:

$\sin^2 30^\circ + \cos^2 30^\circ = \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \frac{4}{4} = 1$ となり、成り立ちます。

3. $1 + \tan^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta}$ の場合:

$1 + \tan^2 30^\circ = 1 + \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$

$\frac{1}{\cos^2 30^\circ} = \frac{1}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \frac{1}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{3}$

したがって、$1 + \tan^2 30^\circ = \frac{1}{\cos^2 30^\circ}$ となり、成り立ちます。

3. 最終的な答え

$\theta = 30^\circ$ のとき、与えられた三角比の相互関係1, 2, 3 は全て成り立ちます。