$\mathbb{R}^2$ において、直線 $L: 2x + y = -3$ が与えられている。ベクトル $\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ に対して、$\vec{n}$ 方向の単位ベクトルを $\vec{n'}$ とする。 (1) 内積 $\langle \vec{x}, \vec{n'} \rangle$ を用いて、直線 $L$ 上の点 $\vec{x}$ が満たす式 $\langle \vec{x}, \vec{n'} \rangle = c$ を求め、$\vec{n'}$ と $c$ の値を求める。 (2) (1) の式を用いて、直線 $L$ が $\vec{n'}$ 軸に対してどのような位置関係にあるかを作図し、「正射影」という言葉を用いて作図の理由を説明する。 (3) (2) を用いて、直線 $L$ の原点からの距離 $R$ を求め、$L$ が $\vec{n'}$ と同じ方向に $R$ の位置にあるのか、反対の方向に $R$ の位置にあるのか答える。

## 問題3

1. 問題の内容

$\mathbb{R}^2$ において、直線 $L: 2x + y = -3$ が与えられている。ベクトル $\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ に対して、$\vec{n}$ 方向の単位ベクトルを $\vec{n'}$ とする。

(1) 内積 $\langle \vec{x}, \vec{n'} \rangle$ を用いて、直線 $L$ 上の点 $\vec{x}$ が満たす式 $\langle \vec{x}, \vec{n'} \rangle = c$ を求め、$\vec{n'}$ と $c$ の値を求める。

(2) (1) の式を用いて、直線 $L$ が $\vec{n'}$ 軸に対してどのような位置関係にあるかを作図し、「正射影」という言葉を用いて作図の理由を説明する。

(3) (2) を用いて、直線 $L$ の原点からの距離 $R$ を求め、$L$ が $\vec{n'}$ と同じ方向に $R$ の位置にあるのか、反対の方向に $R$ の位置にあるのか答える。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$\vec{n}$ の大きさを求める。

$$|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$$

したがって、$\vec{n'}$ は $\vec{n}$ をその大きさで割ったものとなる。

$$\vec{n'} = \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|} = \frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2/\sqrt{5} \\ 1/\sqrt{5} \end{pmatrix}$$

次に、直線 $L: 2x + y = -3$ 上の点 $\vec{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ に対して、

$$\langle \vec{x}, \vec{n'} \rangle = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2/\sqrt{5} \\ 1/\sqrt{5} \end{pmatrix} = \frac{2x}{\sqrt{5}} + \frac{y}{\sqrt{5}} = \frac{2x + y}{\sqrt{5}}$$

直線 $L$ 上の点は $2x + y = -3$ を満たすので、

$$\langle \vec{x}, \vec{n'} \rangle = \frac{-3}{\sqrt{5}}$$

したがって、$c = -\frac{3}{\sqrt{5}}$ となる。

(2)

$\langle \vec{x}, \vec{n'} \rangle = c$ は、$\vec{x}$ の $\vec{n'}$ 方向への正射影の長さが $c$ であることを意味する。$c = -\frac{3}{\sqrt{5}}$ であるから、直線 $L$ は原点から $\vec{n'}$ 方向に $-\frac{3}{\sqrt{5}}$ だけ離れた位置にある。

作図としては、$\vec{n'}$ を描き、原点から $\vec{n'}$ 方向に$-\frac{3}{\sqrt{5}}$ だけ進んだ点を通り、$\vec{n'}$ に垂直な直線を $L$ として描く。

(3)

直線 $L$ の原点からの距離 $R$ は、$|c|$ に等しい。

$$R = |c| = \left|-\frac{3}{\sqrt{5}}\right| = \frac{3}{\sqrt{5}}$$

直線 $L$ は、$\vec{n'}$ と反対方向に $\frac{3}{\sqrt{5}}$ の距離だけ離れた位置にある。

3. 最終的な答え

(1) $\vec{n'} = \begin{pmatrix} 2/\sqrt{5} \\ 1/\sqrt{5} \end{pmatrix}$, $c = -\frac{3}{\sqrt{5}}$

(2) 省略 (上記の説明を参照)

(3) $R = \frac{3}{\sqrt{5}}$, 反対方向

## 問題4

1. 問題の内容

3つのベクトル $\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$, $\vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$, $\vec{c} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}$ が与えられている。

(1) $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ は線形独立か答え、その理由を述べる。

(2) $\vec{a}$ の張る空間 $L(\vec{a})$ が選択肢のどれになるか選ぶ。

(3) $\vec{a}, \vec{b}$ の張る空間 $L(\vec{a}, \vec{b})$ が選択肢のどれになるか選ぶ。

(4) $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ の張る空間 $L(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c})$ が選択肢のどれになるか選ぶ。

選択肢: A: 点$\vec{a}$, B: 2点$\vec{a}, \vec{b}$, C: 原点を通る直線, D: 3点$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ を結ぶ三角形とその内部, E: 原点を通る平面, F: $\mathbb{R}^3$, G: $\mathbb{R}^4$, H: 定義されない

2. 解き方の手順

(1)

$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ が線形独立かどうかを調べるために、行列式を計算する。

$$$$

\begin{vmatrix}

1 & 1 & 1 \\

0 & 1 & 3 \\

1 & 1 & 1

\end{vmatrix}

= 1 \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 0 & 3 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = (1 - 3) - (0 - 3) + (0 - 1) = -2 + 3 - 1 = 0

$$$$

行列式が 0 なので、$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ は線形従属である。

(2)

$\vec{a}$ の張る空間 $L(\vec{a})$ は、$\vec{a}$ のスカラー倍全体である。これは原点を通る直線を表す。選択肢C。

(3)

$\vec{a}, \vec{b}$ の張る空間 $L(\vec{a}, \vec{b})$ は、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ の線形結合全体である。$\vec{a}$ と $\vec{b}$ は線形独立なので、これは原点を通る平面を表す。選択肢E。

(4)

$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ の張る空間 $L(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c})$ は、$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ の線形結合全体である。$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ は線形従属であるため、３つのベクトルで張られる空間は$\mathbb{R}^3$ 全体にはならない。$\vec{a}, \vec{b}$は線形独立なので、すでに平面を張っている。

$\vec{c}$がその平面に含まれるかどうかを確かめる。

$\vec{c} = k_1\vec{a} + k_2\vec{b}$ が成立するかどうかを調べる。

$\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} = k_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + k_2 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

$1 = k_1 + k_2$

$3 = k_2$

$1 = k_1 + k_2$

よって、$k_1 = -2, k_2 = 3$ となり、$\vec{c} = -2\vec{a} + 3\vec{b}$ が成立する。

したがって、$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ の張る空間は、$\vec{a}$と$\vec{b}$が張る平面と一致する。

よって、これは原点を通る平面を表す。選択肢E

3. 最終的な答え

(1) 線形従属、理由: 行列式が 0 であるため。

(2) C

(3) E

(4) E