三角形OABにおいて、ベクトルOA = a、ベクトルOB = b、角AOB = θとする。 |a| = 4, |b| = 3, cosθ = 1/6のとき、 (1) a・bを求めよ。 (2) ベクトルOCをベクトルaとベクトルbで表せ。ただし、点Cは頂点Oから辺ABに下ろした垂線と辺ABの交点である。 (3) |OC|を求めよ。

1. 問題の内容

三角形OABにおいて、ベクトルOA = a、ベクトルOB = b、角AOB = θとする。

|a| = 4, |b| = 3, cosθ = 1/6のとき、

(1) a・bを求めよ。

(2) ベクトルOCをベクトルaとベクトルbで表せ。ただし、点Cは頂点Oから辺ABに下ろした垂線と辺ABの交点である。

(3) |OC|を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) a・bを求める。

内積の定義より、a・b = |a||b|cosθであるから、

$a \cdot b = 4 \cdot 3 \cdot \frac{1}{6} = 2$

(2) OCを求める。

Cは直線AB上の点なので、実数kを用いて、

$\vec{OC} = (1-k)\vec{OA} + k\vec{OB} = (1-k)\vec{a} + k\vec{b}$

と表せる。

OC⊥ABより、$\vec{OC} \cdot \vec{AB} = 0$である。

$\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = \vec{b} - \vec{a}$であるから、

$((1-k)\vec{a} + k\vec{b}) \cdot (\vec{b} - \vec{a}) = 0$

$(1-k)\vec{a}\cdot\vec{b} - (1-k)|\vec{a}|^2 + k|\vec{b}|^2 - k\vec{a}\cdot\vec{b} = 0$

$(1-k) \cdot 2 - (1-k) \cdot 16 + k \cdot 9 - k \cdot 2 = 0$

$2 - 2k - 16 + 16k + 9k - 2k = 0$

$21k - 14 = 0$

$k = \frac{14}{21} = \frac{2}{3}$

したがって、

$\vec{OC} = (1-\frac{2}{3})\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b} = \frac{1}{3}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b}$

(3) |OC|を求める。

$|\vec{OC}|^2 = (\frac{1}{3}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b}) \cdot (\frac{1}{3}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b})$

$= \frac{1}{9}|\vec{a}|^2 + \frac{4}{9}\vec{a}\cdot\vec{b} + \frac{4}{9}|\vec{b}|^2$

$= \frac{1}{9} \cdot 16 + \frac{4}{9} \cdot 2 + \frac{4}{9} \cdot 9 = \frac{16 + 8 + 36}{9} = \frac{60}{9} = \frac{20}{3}$

$|\vec{OC}| = \sqrt{\frac{20}{3}} = \sqrt{\frac{60}{9}} = \frac{\sqrt{60}}{3} = \frac{2\sqrt{15}}{3}$

3. 最終的な答え

(1) 2

(2) OC = (1/3)a + (2/3)b

(3) |OC| = (2√15)/3

より

|OC| = $\frac{2\sqrt{15}}{3}$