展開図が与えられた円錐の体積を求める問題です。展開図は、中心角が216度の扇形と、半径が3の円で構成されています。

1. 問題の内容

展開図が与えられた円錐の体積を求める問題です。展開図は、中心角が216度の扇形と、半径が3の円で構成されています。

2. 解き方の手順

まず、円錐の底面の円周を求めます。

扇形の弧の長さは、円錐の底面の円周と一致します。扇形の半径を $R$ とすると、扇形の弧の長さは $2\pi R \times \frac{216}{360}$ で表されます。

円錐の底面の半径は3なので、円錐の底面の円周は $2\pi \times 3 = 6\pi$ です。

したがって、$2\pi R \times \frac{216}{360} = 6\pi$ が成り立ちます。

この式から扇形の半径 $R$ を求めます。

$2\pi R \times \frac{216}{360} = 6\pi$

$R \times \frac{216}{360} = 3$

$R = 3 \times \frac{360}{216} = 3 \times \frac{5}{3} = 5$

扇形の半径 $R$ は円錐の母線の長さに等しいので、円錐の母線の長さは5です。

次に、円錐の高さを求めます。

円錐の高さ $h$ 、底面の半径 $r$ 、母線の長さ $R$ の間には、三平方の定理より $h^2 + r^2 = R^2$ の関係があります。

$h^2 + 3^2 = 5^2$

$h^2 + 9 = 25$

$h^2 = 16$

$h = 4$

最後に、円錐の体積を求めます。

円錐の体積 $V$ は、 $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ で表されます。

$V = \frac{1}{3} \pi \times 3^2 \times 4 = \frac{1}{3} \pi \times 9 \times 4 = 12\pi$

3. 最終的な答え

円錐の体積は $12\pi$ です。したがって、選択肢②が正解です。