次の6つの二次方程式を解きます。 (1) $x^2 - x = 4x - 3$ (2) $x^2 + 2x = 3(x + 4)$ (3) $(x + 3)(x - 5) = -6$ (4) $(x + 2)^2 = 3x(x - 1)$ (5) $2x(x + 6) = -9$ (6) $(x + 3)^2 - 8(x + 3) + 7 = 0$

1. 問題の内容

次の6つの二次方程式を解きます。

(1) $x^2 - x = 4x - 3$

(2) $x^2 + 2x = 3(x + 4)$

(3) $(x + 3)(x - 5) = -6$

(4) $(x + 2)^2 = 3x(x - 1)$

(5) $2x(x + 6) = -9$

(6) $(x + 3)^2 - 8(x + 3) + 7 = 0$

2. 解き方の手順

(1) $x^2 - x = 4x - 3$

まず、方程式を整理します。

$x^2 - x - 4x + 3 = 0$

$x^2 - 5x + 3 = 0$

解の公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ を用います。ここで、$a = 1, b = -5, c = 3$ です。

$x = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(1)(3)}}{2(1)}$

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 12}}{2}$

$x = \frac{5 \pm \sqrt{13}}{2}$

(2) $x^2 + 2x = 3(x + 4)$

まず、方程式を整理します。

$x^2 + 2x = 3x + 12$

$x^2 + 2x - 3x - 12 = 0$

$x^2 - x - 12 = 0$

因数分解します。

$(x - 4)(x + 3) = 0$

$x - 4 = 0$ または $x + 3 = 0$

$x = 4$ または $x = -3$

(3) $(x + 3)(x - 5) = -6$

まず、方程式を展開して整理します。

$x^2 - 5x + 3x - 15 = -6$

$x^2 - 2x - 15 + 6 = 0$

$x^2 - 2x - 9 = 0$

解の公式を用います。ここで、$a = 1, b = -2, c = -9$ です。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-9)}}{2(1)}$

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 36}}{2}$

$x = \frac{2 \pm \sqrt{40}}{2}$

$x = \frac{2 \pm 2\sqrt{10}}{2}$

$x = 1 \pm \sqrt{10}$

(4) $(x + 2)^2 = 3x(x - 1)$

まず、方程式を展開して整理します。

$x^2 + 4x + 4 = 3x^2 - 3x$

$0 = 2x^2 - 7x - 4$

$2x^2 - 7x - 4 = 0$

解の公式を用います。ここで、$a = 2, b = -7, c = -4$ です。

$x = \frac{7 \pm \sqrt{(-7)^2 - 4(2)(-4)}}{2(2)}$

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 32}}{4}$

$x = \frac{7 \pm \sqrt{81}}{4}$

$x = \frac{7 \pm 9}{4}$

$x = \frac{7 + 9}{4}$ または $x = \frac{7 - 9}{4}$

$x = \frac{16}{4} = 4$ または $x = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

(5) $2x(x + 6) = -9$

まず、方程式を展開して整理します。

$2x^2 + 12x = -9$

$2x^2 + 12x + 9 = 0$

解の公式を用います。ここで、$a = 2, b = 12, c = 9$ です。

$x = \frac{-12 \pm \sqrt{12^2 - 4(2)(9)}}{2(2)}$

$x = \frac{-12 \pm \sqrt{144 - 72}}{4}$

$x = \frac{-12 \pm \sqrt{72}}{4}$

$x = \frac{-12 \pm 6\sqrt{2}}{4}$

$x = \frac{-6 \pm 3\sqrt{2}}{2}$

(6) $(x + 3)^2 - 8(x + 3) + 7 = 0$

$y = x + 3$ とおくと、$y^2 - 8y + 7 = 0$

因数分解します。

$(y - 1)(y - 7) = 0$

$y = 1$ または $y = 7$

$x + 3 = 1$ または $x + 3 = 7$

$x = -2$ または $x = 4$

3. 最終的な答え

(1) $x = \frac{5 \pm \sqrt{13}}{2}$

(2) $x = 4, -3$

(3) $x = 1 \pm \sqrt{10}$

(4) $x = 4, -\frac{1}{2}$

(5) $x = \frac{-6 \pm 3\sqrt{2}}{2}$

(6) $x = -2, 4$