(1) 線分ABを1:2に内分する点をC、2:1に外分する点をDとする。AB=6cmのとき、AC, BD, CDの長さを求める。 (2) 点Oが三角形ABCの外心であるとき、角xの大きさを求める。 (3) 点Iが三角形ABCの内心であるとき、角xの大きさを求める。

1. 問題の内容

(1) 線分ABを1:2に内分する点をC、2:1に外分する点をDとする。AB=6cmのとき、AC, BD, CDの長さを求める。

(2) 点Oが三角形ABCの外心であるとき、角xの大きさを求める。

(3) 点Iが三角形ABCの内心であるとき、角xの大きさを求める。

2. 解き方の手順

(1)

線分ABの長さは6cmである。

ACはABを1:2に内分するので、ACの長さは$6 \times \frac{1}{1+2} = 6 \times \frac{1}{3} = 2$ cm。

ADはABを2:1に外分するので、ADの長さは$6 \times \frac{2}{2-1} = 6 \times 2 = 12$ cm。

BDの長さはAD - AB = 12 - 6 = 6 cm。

CDの長さはAD - AC = 12 - 2 = 10 cm。

(2)

点Oは三角形ABCの外心であるため、OA = OBである。

したがって、三角形OABは二等辺三角形であり、$\angle OAB = \angle OBA = 35^\circ$。

同様に、OA = OCであるから、$\angle OAC = \angle OCA = 30^\circ$。

角xは$\angle ABO$に等しいから、x = 35。

(3)

点Iは三角形ABCの内心であるため、BIとCIはそれぞれ$\angle ABC$と$\angle ACB$の二等分線である。

したがって、$\angle ABI = \angle CBI$ と $\angle ACI = \angle BCI$。

$\angle ABC = 2 \times 28^\circ = 56^\circ$

$\angle ACB = 2 \times 25^\circ = 50^\circ$

三角形の内角の和は180度なので、

$\angle BAC = 180^\circ - \angle ABC - \angle ACB = 180^\circ - 56^\circ - 50^\circ = 74^\circ$

$\angle BAI = \angle CAI = \frac{74}{2} = 37^\circ$

三角形ABIにおいて、

$\angle AIB = x = 180^\circ - \angle ABI - \angle BAI = 180^\circ - 28^\circ - 37^\circ = 115^\circ$

3. 最終的な答え

(1) AC= 2 cm, BD = 6 cm, CD = 10 cm

(2) x= 35

(3) x= 115