点Pの軌跡を求める問題です。 (1) 2点A(2, 1)とB(-1, 2)から等距離にある点Pの軌跡を求める。 (2) 2点A(0, 0)とB(6, 0)からの距離の比が1:2である点Pの軌跡を求める。

1. 問題の内容

点Pの軌跡を求める問題です。

(1) 2点A(2, 1)とB(-1, 2)から等距離にある点Pの軌跡を求める。

(2) 2点A(0, 0)とB(6, 0)からの距離の比が1:2である点Pの軌跡を求める。

2. 解き方の手順

(1) 点Pの座標を(x, y)とする。

AP = BPより、$AP^2 = BP^2$となる。

それぞれの距離の2乗を計算する。

$AP^2 = (x - 2)^2 + (y - 1)^2$

$BP^2 = (x + 1)^2 + (y - 2)^2$

これらを代入して計算する。

$(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = (x + 1)^2 + (y - 2)^2$

$x^2 - 4x + 4 + y^2 - 2y + 1 = x^2 + 2x + 1 + y^2 - 4y + 4$

$-4x - 2y + 5 = 2x - 4y + 5$

$-6x + 2y = 0$

$3x - y = 0$

$y = 3x$

これは直線を表す。

(2) 点Pの座標を(x, y)とする。

AP : BP = 1 : 2より、2AP = BPとなる。

したがって、$4AP^2 = BP^2$

$AP^2 = (x - 0)^2 + (y - 0)^2 = x^2 + y^2$

$BP^2 = (x - 6)^2 + (y - 0)^2 = (x - 6)^2 + y^2$

これらを代入して計算する。

$4(x^2 + y^2) = (x - 6)^2 + y^2$

$4x^2 + 4y^2 = x^2 - 12x + 36 + y^2$

$3x^2 + 3y^2 + 12x - 36 = 0$

$x^2 + y^2 + 4x - 12 = 0$

$(x + 2)^2 - 4 + y^2 - 12 = 0$

$(x + 2)^2 + y^2 = 16$

これは円を表す。中心(-2, 0), 半径4

3. 最終的な答え

(1) $y = 3x$

(2) $(x + 2)^2 + y^2 = 16$