複素数平面上に原点 O と異なる 3 点 $z_1, z_2, z_3$ があり、以下の条件 (A), (B), (C) を満たしている。 (A) $\arg z_1 = \arg z_2 + \frac{2}{3}\pi$ (B) 点 $z_3$ は 2 点 $z_1, z_2$ を通る直線に関して点 O と反対側にある (C) $\triangle z_1 z_2 z_3$ は正三角形 このとき、 (1) $\alpha = \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3}$ とするとき、$\alpha z_1 = pz_1 + qz_2$, $\alpha z_2 = rz_1 + sz_2$ となる実数 $p, q, r, s$ をそれぞれ $|z_1|, |z_2|$ を用いて表す。 (2) $z_3 = az_1 + bz_2$ となる実数 $a, b$ をそれぞれ $|z_1|, |z_2|$ を用いて表す。

1. 問題の内容

複素数平面上に原点 O と異なる 3 点 $z_1, z_2, z_3$ があり、以下の条件 (A), (B), (C) を満たしている。

(A) $\arg z_1 = \arg z_2 + \frac{2}{3}\pi$

(B) 点 $z_3$ は 2 点 $z_1, z_2$ を通る直線に関して点 O と反対側にある

(C) $\triangle z_1 z_2 z_3$ は正三角形

このとき、

(1) $\alpha = \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3}$ とするとき、$\alpha z_1 = pz_1 + qz_2$, $\alpha z_2 = rz_1 + sz_2$ となる実数 $p, q, r, s$ をそれぞれ $|z_1|, |z_2|$ を用いて表す。

(2) $z_3 = az_1 + bz_2$ となる実数 $a, b$ をそれぞれ $|z_1|, |z_2|$ を用いて表す。

2. 解き方の手順

(1)

$\alpha = \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}$ である。

条件 (A) より、$\arg z_1 - \arg z_2 = \frac{2}{3}\pi$ であるから、$z_1 = |z_1| e^{i \theta}, z_2 = |z_2| e^{i(\theta - \frac{2}{3}\pi)}$ とおくことができる。

$\alpha z_1 = (\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}) |z_1| e^{i \theta} = p |z_1| e^{i \theta} + q |z_2| e^{i(\theta - \frac{2}{3}\pi)}$

$\alpha z_2 = (\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}) |z_2| e^{i(\theta - \frac{2}{3}\pi)} = r |z_1| e^{i \theta} + s |z_2| e^{i(\theta - \frac{2}{3}\pi)}$

$\alpha z_1 = \frac{1}{2} z_1 + \frac{\sqrt{3}}{2} i z_1$

$\frac{1}{2} z_1 + i \frac{\sqrt{3}}{2} z_1 = p z_1 + q z_2$

$\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} = p + q \frac{|z_2|}{|z_1|} e^{-i \frac{2}{3}\pi}$

$= p + q \frac{|z_2|}{|z_1|} (\cos (-\frac{2}{3}\pi) + i \sin (-\frac{2}{3}\pi))$

$= p + q \frac{|z_2|}{|z_1|} (-\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2})$

$\frac{1}{2} = p - \frac{1}{2} q \frac{|z_2|}{|z_1|}$

$\frac{\sqrt{3}}{2} = - \frac{\sqrt{3}}{2} q \frac{|z_2|}{|z_1|}$

$q \frac{|z_2|}{|z_1|} = -1$

$q = - \frac{|z_1|}{|z_2|}$

$p = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} q \frac{|z_2|}{|z_1|} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0$

$\alpha z_2 = \frac{1}{2} z_2 + i \frac{\sqrt{3}}{2} z_2 = r z_1 + s z_2$

$\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} = r \frac{|z_1|}{|z_2|} e^{i \frac{2}{3}\pi} + s$

$= r \frac{|z_1|}{|z_2|} (\cos \frac{2}{3}\pi + i \sin \frac{2}{3}\pi) + s$

$= r \frac{|z_1|}{|z_2|} (-\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}) + s$

$\frac{1}{2} = - \frac{1}{2} r \frac{|z_1|}{|z_2|} + s$

$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} r \frac{|z_1|}{|z_2|}$

$r \frac{|z_1|}{|z_2|} = 1$

$r = \frac{|z_2|}{|z_1|}$

$s = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} r \frac{|z_1|}{|z_2|} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$

したがって $p = 0, q = - \frac{|z_1|}{|z_2|}, r = \frac{|z_2|}{|z_1|}, s = 1$

(2)

$\triangle z_1 z_2 z_3$ が正三角形であるから、

$z_3 = \frac{1}{2} (z_1 + z_2) + \frac{\sqrt{3}}{2}i (z_2 - z_1)$ または $z_3 = \frac{1}{2} (z_1 + z_2) + \frac{\sqrt{3}}{2}i (z_1 - z_2)$

$z_3 = \frac{1}{2} z_1 + \frac{1}{2} z_2 + \frac{\sqrt{3}}{2} i z_2 - \frac{\sqrt{3}}{2} i z_1$

$z_3 = (\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i) z_1 + (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i) z_2$

$\arg z_1 = \theta$, $\arg z_2 = \theta - \frac{2}{3}\pi$ であるから、$z_1 = |z_1| e^{i \theta}, z_2 = |z_2| e^{i(\theta - \frac{2}{3}\pi)}$

$z_3 = a |z_1| e^{i \theta} + b |z_2| e^{i(\theta - \frac{2}{3}\pi)}$

条件 (B) より、点 $z_3$ は 2 点 $z_1, z_2$ を通る直線に関して点 O と反対側にある。すなわち、$\arg z_3 = \arg z_1 + \pi$ または $\arg z_3 = \arg z_2 + \pi$ である。

$\frac{z_3-z_1}{z_2-z_1}=\pm i\frac{\sqrt{3}}{2}$, $z_3 = (\frac{1}{2}\mp\frac{i\sqrt{3}}{2})z_1 + (\frac{1}{2}\pm\frac{i\sqrt{3}}{2})z_2$

$z_3 = az_1 + bz_2$だから, $a = \frac{1}{2} \mp \frac{i\sqrt{3}}{2}$ と $b= \frac{1}{2} \pm \frac{i\sqrt{3}}{2}$ は複素数で実数ではないので条件を満たさない.

$\triangle z_1,z_2,z_3$が正三角形だから, $|z_1-z_2|^2 = |z_2-z_3|^2 = |z_3-z_1|^2$

$|z_1-z_2|^2 = (z_1-z_2)(\overline{z_1}-\overline{z_2}) = |z_1|^2 + |z_2|^2 - z_1\overline{z_2} - z_2\overline{z_1}$

ここで, $arg z_1 = arg z_2 + \frac{2}{3}\pi$ だから, $\overline{z_1}z_2 = |z_1||z_2| e^{-i(arg z_1)}e^{i(arg z_2)} = |z_1||z_2| e^{-i(\frac{2\pi}{3})}$

$z_1\overline{z_2} = |z_1||z_2| e^{i(\frac{2\pi}{3})}$

$|z_1-z_2|^2 = |z_1|^2 + |z_2|^2 - 2|z_1||z_2| cos(\frac{2\pi}{3}) = |z_1|^2 + |z_2|^2 + |z_1||z_2|$

$|z_1-z_2| = \sqrt{|z_1|^2 + |z_2|^2 + |z_1||z_2|}$

$z_3 = az_1+bz_2$と表すと, $|z_3|=|a||z_1|+|b||z_2|$,

しかし, 線分$z_1,z_2$に関して原点0の反対側にあるという条件より,

$z_3$は,線分$z_1,z_2$に関して対称な位置にあることから, $a,b$は実数である

さらに$|z_1|=|z_2|=|z_3|$であるから, $a=b=\frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $p = 0, q = -\frac{|z_1|}{|z_2|}, r = \frac{|z_2|}{|z_1|}, s = 1$

(2) $a = b = \frac{1}{2}$