正の奇数の列を群に分ける。第 $n$ 群には $2^{n-1}$ 個の奇数が含まれる。このとき、第 $n$ 群の最初の奇数を求めよ。

1. 問題の内容

正の奇数の列を群に分ける。第 $n$ 群には $2^{n-1}$ 個の奇数が含まれる。このとき、第 $n$ 群の最初の奇数を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、第 $n$ 群の最初の奇数が、奇数列の中で何番目の数かを考える。

第 $n$ 群の最初の数は、第 $1$ 群から第 $n-1$ 群までの奇数の個数の和に1を加えた数である。

第 $k$ 群には $2^{k-1}$ 個の奇数が含まれるので、第 $1$ 群から第 $n-1$ 群までの奇数の個数の和は、

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\sum_{k=1}^{n-1} 2^{k-1} = 2^0 + 2^1 + 2^2 + \dots + 2^{n-2}

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これは初項 $1$, 公比 $2$ の等比数列の和なので、

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\sum_{k=1}^{n-1} 2^{k-1} = \frac{1(2^{n-1} - 1)}{2-1} = 2^{n-1} - 1

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したがって、第 $n$ 群の最初の数は、奇数列の中で $2^{n-1} - 1 + 1 = 2^{n-1}$ 番目の数である。

奇数列は $1, 3, 5, 7, \dots$ であり、これは初項 $1$, 公差 $2$ の等差数列である。

この数列の第 $m$ 項は $1 + (m-1)2 = 2m - 1$ で表される。

したがって、第 $n$ 群の最初の数は、奇数列の第 $2^{n-1}$ 項なので、

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2 \cdot 2^{n-1} - 1 = 2^n - 1

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となる。

3. 最終的な答え

$2^n - 1$