正三角形の色板を並べてピラミッドの形を作る。 (1) 段の数と色板の数を表に書き出す。 (2) 段の数が7段になったとき、色板の数は何枚になるか。 (3) 55枚の色板を使うと、何段になるか。

1. 問題の内容

正三角形の色板を並べてピラミッドの形を作る。

(1) 段の数と色板の数を表に書き出す。

(2) 段の数が7段になったとき、色板の数は何枚になるか。

(3) 55枚の色板を使うと、何段になるか。

2. 解き方の手順

(1) 表を埋める。

* 1段のとき：色板の数は1枚

* 2段のとき：色板の数は1 + 2 = 3枚

* 3段のとき：色板の数は1 + 2 + 3 = 6枚

* 4段のとき：色板の数は1 + 2 + 3 + 4 = 10枚

表：

| 段の数（段） | 1 | 2 | 3 | 4 |

|---|---|---|---|---|

| 色板の数（枚） | 1 | 3 | 6 | 10 |

(2) 段の数が7段のときの色板の数を求める。

段の数が増えるごとに、色板の数は1ずつ増えていることがわかる。

$n$ 段のときの色板の数は、1から $n$ までの整数の和で表される。

$n$ 段のときの色板の数を $S_n$ とすると、

$S_n = 1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{n(n+1)}{2}$

7段のときの色板の数は、

$S_7 = \frac{7(7+1)}{2} = \frac{7 \times 8}{2} = \frac{56}{2} = 28$

(3) 55枚の色板を使うと何段になるか求める。

$S_n = \frac{n(n+1)}{2} = 55$

$n(n+1) = 110$

$n^2 + n - 110 = 0$

$(n - 10)(n + 11) = 0$

$n = 10$ または $n = -11$

段の数は正の整数なので、$n = 10$

3. 最終的な答え

(1)

| 段の数（段） | 1 | 2 | 3 | 4 |

|---|---|---|---|---|

| 色板の数（枚） | 1 | 3 | 6 | 10 |

(2) 28枚

(3) 10段