ある世論調査で、有権者から無作為抽出した1000人についてA政党の支持者を調べたところ250人だった。このとき、A政党の支持者の母比率$p$に対する、信頼度95%の信頼区間を求める。

1. 問題の内容

ある世論調査で、有権者から無作為抽出した1000人についてA政党の支持者を調べたところ250人だった。このとき、A政党の支持者の母比率$p$に対する、信頼度95%の信頼区間を求める。

2. 解き方の手順

母比率の信頼区間は、標本比率を$\hat{p}$、サンプルサイズを$n$、信頼係数を$z_{\alpha/2}$とすると、以下の式で表される。

$\hat{p} \pm z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$

ここで、標本比率$\hat{p}$は、

$\hat{p} = \frac{250}{1000} = 0.25$

サンプルサイズは$n = 1000$である。

信頼度95%の場合、$z_{\alpha/2} = 1.96$である。（正規分布表などから求める）

したがって、信頼区間は、

$0.25 \pm 1.96 \sqrt{\frac{0.25(1-0.25)}{1000}}$

$= 0.25 \pm 1.96 \sqrt{\frac{0.25 \times 0.75}{1000}}$

$= 0.25 \pm 1.96 \sqrt{\frac{0.1875}{1000}}$

$= 0.25 \pm 1.96 \sqrt{0.0001875}$

$= 0.25 \pm 1.96 \times 0.013693068$

$= 0.25 \pm 0.026838414$

信頼区間の下限は$0.25 - 0.026838414 = 0.223161586$

信頼区間の上限は$0.25 + 0.026838414 = 0.276838414$

よって信頼区間は$[0.223, 0.277]$となる。

3. 最終的な答え

[0.223, 0.277]