母標準偏差が19.6点の試験で、受験者の中から無作為に400人を抽出したところ、平均点が76点であった。この試験の母平均mを信頼度95%で推定せよ。

1. 問題の内容

母標準偏差が19.6点の試験で、受験者の中から無作為に400人を抽出したところ、平均点が76点であった。この試験の母平均mを信頼度95%で推定せよ。

2. 解き方の手順

信頼度95%の信頼区間を求めるために、以下の公式を使用します。

$\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

ここで、

$\bar{x}$は標本平均 = 76

$\sigma$は母標準偏差 = 19.6

$n$は標本サイズ = 400

$z_{\alpha/2}$は信頼度に対応するz値。信頼度95%の場合、$z_{\alpha/2} = 1.96$ (通常の値として覚えておくとよい)

まず、標準誤差を計算します。

$\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{19.6}{\sqrt{400}} = \frac{19.6}{20} = 0.98$

次に、信頼区間の幅を計算します。

$z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1.96 \times 0.98 = 1.9208$

最後に、信頼区間の上限と下限を計算します。

下限: $\bar{x} - z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 76 - 1.9208 = 74.0792$

上限: $\bar{x} + z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 76 + 1.9208 = 77.9208$

問題文の指示に従い、小数第2位を四捨五入して小数第1位まで求めると、信頼区間は[74.1, 77.9]となります。

3. 最終的な答え

[74.1, 77.9]