母音 a, i, u, e, o と子音 k, s, t の 8 個を 1 列に並べるとき、次の並べ方は何通りあるか。 (1) 両端が母音である。 (2) 母音 5 個が続いて並ぶ。

1. 問題の内容

母音 a, i, u, e, o と子音 k, s, t の 8 個を 1 列に並べるとき、次の並べ方は何通りあるか。

(1) 両端が母音である。

(2) 母音 5 個が続いて並ぶ。

2. 解き方の手順

(1) 両端が母音である場合：

まず、両端に母音を配置する方法を考えます。5 つの母音から 2 つを選んで並べるので、$5P2 = 5 \times 4 = 20$ 通りです。

次に、残りの 6 個の文字（3 つの母音と 3 つの子音）を並べる方法は、$6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$ 通りです。

したがって、両端が母音である並べ方は、$20 \times 720 = 14400$ 通りです。

(2) 母音 5 個が続いて並ぶ場合：

まず、5 つの母音を 1 つのグループとして考えます。この 5 つの母音の並び方は、$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$ 通りです。

次に、この母音のグループと 3 つの子音を並べることを考えます。これは 4 つのものを並べることになるので、$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ 通りです。

したがって、母音 5 個が続いて並ぶ並べ方は、$120 \times 24 = 2880$ 通りです。

3. 最終的な答え

(1) 14400 通り

(2) 2880 通り