1分間の脈拍数を10回測定した結果、71, 72, 71, 72, 73, 73, 71, 72, 73, 72 であった。このデータが正規分布に従うとして、母平均 $m$ を信頼度95%で推定する。

1. 問題の内容

1分間の脈拍数を10回測定した結果、71, 72, 71, 72, 73, 73, 71, 72, 73, 72 であった。このデータが正規分布に従うとして、母平均 $m$ を信頼度95%で推定する。

2. 解き方の手順

まず、与えられたデータの標本平均 $\bar{x}$ と標本標準偏差 $s$ を計算します。

標本平均 $\bar{x}$ は、データの総和をデータ数で割ったものです。

$$\bar{x} = \frac{71+72+71+72+73+73+71+72+73+72}{10} = \frac{720}{10} = 72$$

標本標準偏差 $s$ は、各データと標本平均の差の二乗を合計し、データ数-1 で割ったものの平方根です。

$$s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n-1}$$

$$s^2 = \frac{(71-72)^2 + (72-72)^2 + (71-72)^2 + (72-72)^2 + (73-72)^2 + (73-72)^2 + (71-72)^2 + (72-72)^2 + (73-72)^2 + (72-72)^2}{10-1}$$

$$s^2 = \frac{1+0+1+0+1+1+1+0+1+0}{9} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$$

$$s = \sqrt{\frac{2}{3}} \approx 0.816$$

次に、信頼度95%における信頼区間を計算します。標本数が小さいので、$t$分布を用いる必要があります。自由度は $n-1 = 10-1 = 9$ です。信頼度95%に対応する$t$値は、 $t_{0.025, 9} \approx 2.262$ です。

信頼区間は次のように計算します。

$$\bar{x} \pm t_{\alpha/2, n-1} \frac{s}{\sqrt{n}}$$

$$72 \pm 2.262 \frac{0.816}{\sqrt{10}}$$

$$72 \pm 2.262 \frac{0.816}{3.162}$$

$$72 \pm 2.262 \times 0.258$$

$$72 \pm 0.584$$

下限: $72 - 0.584 = 71.416$

上限: $72 + 0.584 = 72.584$

小数第2位を四捨五入して小数第1位まで示すと、信頼区間は [71.4, 72.6] となります。選択肢の中で最も近いのは、[71.5, 72.5]です。

3. 最終的な答え

[71.5, 72.5]