確率変数 $X$ の期待値が0で分散が8、確率変数 $Y$ の期待値が-3で分散が6であり、$X$と$Y$が互いに独立であるとする。このとき、確率変数 $\frac{1}{2}X + 3Y$ の期待値を求める。

1. 問題の内容

確率変数 $X$ の期待値が0で分散が8、確率変数 $Y$ の期待値が-3で分散が6であり、$X$と$Y$が互いに独立であるとする。このとき、確率変数 $\frac{1}{2}X + 3Y$ の期待値を求める。

2. 解き方の手順

期待値の線形性を用いて解く。

確率変数 $aX$ の期待値は $E[aX] = aE[X]$ である。

確率変数 $X+Y$ の期待値は $E[X+Y] = E[X] + E[Y]$ である。

したがって、

$E[\frac{1}{2}X + 3Y] = E[\frac{1}{2}X] + E[3Y] = \frac{1}{2}E[X] + 3E[Y]$

問題文より、$E[X] = 0$、$E[Y] = -3$ なので、

$E[\frac{1}{2}X + 3Y] = \frac{1}{2} \times 0 + 3 \times (-3) = 0 - 9 = -9$

3. 最終的な答え

-9