ある工場の製品の不良品率は1割である。この製品を1600個購入したとき、不良品が140個以下になる確率を求める。

1. 問題の内容

ある工場の製品の不良品率は1割である。この製品を1600個購入したとき、不良品が140個以下になる確率を求める。

2. 解き方の手順

この問題は二項分布の問題として扱うことができる。

不良品である確率を $p=0.1$、購入した製品の個数を $n=1600$ とすると、不良品の個数 $X$ は二項分布 $B(n, p) = B(1600, 0.1)$ に従う。

平均 $\mu = np = 1600 \times 0.1 = 160$

分散 $\sigma^2 = np(1-p) = 1600 \times 0.1 \times 0.9 = 144$

標準偏差 $\sigma = \sqrt{144} = 12$

$n$ が大きいので、二項分布を正規分布で近似することができる。

$X$ は近似的に正規分布 $N(\mu, \sigma^2) = N(160, 144)$ に従う。

求める確率は $P(X \leq 140)$ である。

連続修正を行うと、$P(X \leq 140.5)$ となる。

標準化を行う。$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$

$Z = \frac{140.5 - 160}{12} = \frac{-19.5}{12} = -1.625$

$P(X \leq 140.5) = P(Z \leq -1.625)$

標準正規分布表から $P(Z \leq -1.62) = 0.0526$、 $P(Z \leq -1.63) = 0.0516$ であるから、線形補間により

$P(Z \leq -1.625) = 0.0526 + \frac{0.0516 - 0.0526}{2} = 0.0526 - 0.0005 = 0.0521$

3. 最終的な答え

求める確率は約0.0521。