10本のくじの中に当たりくじが4本入っている。A, Bが順番にくじを1本ずつ引く。引いたくじは元に戻さない。Aが引いた当たりくじの本数を$X$、Bが引いた当たりくじの本数を$Y$とする時、$X+Y$の分散を求めよ。

1. 問題の内容

10本のくじの中に当たりくじが4本入っている。A, Bが順番にくじを1本ずつ引く。引いたくじは元に戻さない。Aが引いた当たりくじの本数を$X$、Bが引いた当たりくじの本数を$Y$とする時、$X+Y$の分散を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$X$と$Y$の確率分布を求める。

$X$は、ベルヌーイ分布に従う。$P(X=1) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}, P(X=0) = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

$Y$は、$X=0$の時、$P(Y=1|X=0) = \frac{4}{9}, P(Y=0|X=0) = \frac{5}{9}$

$X=1$の時、$P(Y=1|X=1) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}, P(Y=0|X=1) = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$

$E[X] = 1 \cdot \frac{2}{5} + 0 \cdot \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$

$E[Y] = E[Y|X=0]P(X=0) + E[Y|X=1]P(X=1) = \frac{4}{9} \cdot \frac{3}{5} + \frac{3}{9} \cdot \frac{2}{5} = \frac{12}{45} + \frac{6}{45} = \frac{18}{45} = \frac{2}{5}$

$E[X+Y] = E[X] + E[Y] = \frac{2}{5} + \frac{2}{5} = \frac{4}{5}$

次に、$E[X^2]$、$E[Y^2]$、$E[XY]$を計算する。

$E[X^2] = 1^2 \cdot \frac{2}{5} + 0^2 \cdot \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$

$E[Y^2] = 1^2 \cdot P(Y=1|X=0) P(X=0) + 1^2 \cdot P(Y=1|X=1) P(X=1) + 0^2 \cdot ... = \frac{4}{9} \cdot \frac{3}{5} + \frac{3}{9} \cdot \frac{2}{5} = \frac{2}{5}$

$E[XY] = 1 \cdot 1 \cdot P(X=1, Y=1) + 1 \cdot 0 \cdot P(X=1, Y=0) + 0 \cdot 1 \cdot P(X=0, Y=1) + 0 \cdot 0 \cdot P(X=0, Y=0) = P(X=1, Y=1) = P(Y=1|X=1)P(X=1) = \frac{3}{9} \cdot \frac{2}{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{5} = \frac{2}{15}$

$Var[X] = E[X^2] - (E[X])^2 = \frac{2}{5} - (\frac{2}{5})^2 = \frac{2}{5} - \frac{4}{25} = \frac{10-4}{25} = \frac{6}{25}$

$Var[Y] = E[Y^2] - (E[Y])^2 = \frac{2}{5} - (\frac{2}{5})^2 = \frac{2}{5} - \frac{4}{25} = \frac{10-4}{25} = \frac{6}{25}$

$Cov[X,Y] = E[XY] - E[X]E[Y] = \frac{2}{15} - \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5} = \frac{2}{15} - \frac{4}{25} = \frac{10 - 12}{75} = -\frac{2}{75}$

$Var[X+Y] = Var[X] + Var[Y] + 2Cov[X,Y] = \frac{6}{25} + \frac{6}{25} + 2(-\frac{2}{75}) = \frac{12}{25} - \frac{4}{75} = \frac{36-4}{75} = \frac{32}{75}$

3. 最終的な答え

$X+Y$の分散は、$\frac{32}{75}$ である。