ある市場調査で300人に製品A, B, Cの所持状況を尋ねた。Aを持つ人は100人、Bを持つ人は120人、Cを持つ人は130人。3種類全てを持つ人は10人、どれも持っていない人は60人である。 (1) A, B, Cのうちちょうど2種類の製品を持っている人は何人か。 (2) A, Bの少なくともどちらかを持っている人が185人であるとき、Cを持っている人で2種類以上の製品を持っている人は何人か。

1. 問題の内容

ある市場調査で300人に製品A, B, Cの所持状況を尋ねた。Aを持つ人は100人、Bを持つ人は120人、Cを持つ人は130人。3種類全てを持つ人は10人、どれも持っていない人は60人である。

(1) A, B, Cのうちちょうど2種類の製品を持っている人は何人か。

(2) A, Bの少なくともどちらかを持っている人が185人であるとき、Cを持っている人で2種類以上の製品を持っている人は何人か。

2. 解き方の手順

(1)

ベン図を考える。

Aのみを持つ人を $a$ 人、Bのみを持つ人を $b$ 人、Cのみを持つ人を $c$ 人とする。

AとBのみを持つ人を $x$ 人、BとCのみを持つ人を $y$ 人、CとAのみを持つ人を $z$ 人とする。

A, B, C 全てを持つ人は10人、どれも持っていない人は60人。

全体の人数は300人なので、

$a+b+c+x+y+z+10+60=300$

$a+b+c+x+y+z = 230$ (1)

Aを持つ人の合計は100人なので、

$a+x+z+10=100$

$a+x+z = 90$ (2)

Bを持つ人の合計は120人なので、

$b+x+y+10=120$

$b+x+y = 110$ (3)

Cを持つ人の合計は130人なので、

$c+y+z+10=130$

$c+y+z = 120$ (4)

(2) + (3) + (4)より

$a+b+c+2x+2y+2z = 90+110+120 = 320$

$a+b+c+x+y+z + (x+y+z) = 320$

(1)より

$230 + (x+y+z) = 320$

$x+y+z = 90$

A, B, Cのうちちょうど2種類の製品を持っている人の数は、$x+y+z$ であり、これは90人である。

(2)

AまたはBを持つ人が185人なので、

$a+b+c+x+y+z+10 - c = 185 -60$

$A\cup B = |A|+|B|-|A\cap B| = 185-60=125$

$100+120-|A\cap B|=220-|A\cap B|$

$|A\cap B|=220-125=95$

$x+10=95$

$x=85$

$A\cup B = a+b+x+z+y+10 = 185-60 =125$

$a+x+z+b+x+y-x + 10 =125$

$100+120 - x +10 = 125$

$230-x=125$

$x=105$

間違い。

$n(A \cup B)=185-60 =125$

$n(A \cup B) = n(A)+n(B)-n(A \cap B)$

$125=100+120-n(A \cap B)$

$n(A \cap B)=220-125 = 95$

$A \cap B$ は $x+10$ であるから、 $x+10=95$, よって $x=85$

$x+y+z=90$ より、 $y+z=90-x = 90-85 = 5$

Cを持っている人で2種類以上の製品を持っている人は $y+z+10 = 5+10=15$ 人。

3. 最終的な答え

(1) 90人

(2) 15人