男性5人、女性4人のグループから3人の役員を選ぶとき、男女両方を含む選び方は何通りあるか。

1. 問題の内容

男性5人、女性4人のグループから3人の役員を選ぶとき、男女両方を含む選び方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

まず、全体の選び方から、男性だけを選ぶ場合と女性だけを選ぶ場合を引くことで求めます。

* 全体の選び方：9人から3人を選ぶので、$_9C_3$ 通り。

* 男性だけを選ぶ選び方：5人から3人を選ぶので、$_5C_3$ 通り。

* 女性だけを選ぶ選び方：4人から3人を選ぶので、$_4C_3$ 通り。

したがって、求める組み合わせの数は、全体の選び方から男性だけの場合と女性だけの場合を引いたものになります。

$_9C_3 = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9!}{3!6!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$

$_5C_3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

$_4C_3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4!}{3!1!} = \frac{4}{1} = 4$

求める組み合わせの数は、

$84 - 10 - 4 = 70$

3. 最終的な答え

70通り