母標準偏差が $\frac{1}{4}$ の母集団から大きさ $n$ の無作為標本を復元抽出するとき、その標本平均 $\bar{X}$ の標準偏差が $\frac{1}{30}$ 以下になるような $n$ の最小値を求めよ。

1. 問題の内容

母標準偏差が $\frac{1}{4}$ の母集団から大きさ $n$ の無作為標本を復元抽出するとき、その標本平均 $\bar{X}$ の標準偏差が $\frac{1}{30}$ 以下になるような $n$ の最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

標本平均の標準偏差は、母標準偏差を $\sigma$、標本サイズを $n$ とすると、 $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ で表されます。

この問題では、母標準偏差 $\sigma$ が $\frac{1}{4}$ であることが与えられています。

したがって、標本平均 $\bar{X}$ の標準偏差は $\frac{1/4}{\sqrt{n}}$ となります。

この標準偏差が $\frac{1}{30}$ 以下になるような $n$ を求めるので、以下の不等式を解きます。

$\frac{1/4}{\sqrt{n}} \leq \frac{1}{30}$

$\frac{1}{4\sqrt{n}} \leq \frac{1}{30}$

両辺の逆数をとると、不等号の向きが変わるので、

$4\sqrt{n} \geq 30$

$\sqrt{n} \geq \frac{30}{4}$

$\sqrt{n} \geq \frac{15}{2}$

$\sqrt{n} \geq 7.5$

両辺を2乗すると、

$n \geq (7.5)^2$

$n \geq 56.25$

$n$ は整数なので、条件を満たす最小の $n$ は $57$ です。

3. 最終的な答え

57