硬貨を2回投げて、表が出たら2点、裏が出たら-1点とする。このときの合計点数を$X$とする。 また、サイコロを投げたときの出た目を$Y$とする。 このとき、$2X+6Y$の分散を求める。

1. 問題の内容

硬貨を2回投げて、表が出たら2点、裏が出たら-1点とする。このときの合計点数を$X$とする。

また、サイコロを投げたときの出た目を$Y$とする。

このとき、$2X+6Y$の分散を求める。

2. 解き方の手順

まず、$X$の期待値$E(X)$と分散$V(X)$、及び$Y$の期待値$E(Y)$と分散$V(Y)$を求める。

硬貨を2回投げた時の表の出る回数を$k$とすると、$X = 2k - (2-k) = 3k - 2$となる。$k$は二項分布$B(2, \frac{1}{2})$に従う。

$E(k) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$

$V(k) = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

従って、

$E(X) = 3E(k) - 2 = 3 \cdot 1 - 2 = 1$

$V(X) = 3^2V(k) = 9 \cdot \frac{1}{2} = \frac{9}{2}$

次に、$Y$について考える。$Y$はサイコロの出た目なので、$1$から$6$の値を取り、各値の確率は$\frac{1}{6}$である。

$E(Y) = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = \frac{21}{6} = \frac{7}{2}$

$E(Y^2) = \frac{1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2}{6} = \frac{1+4+9+16+25+36}{6} = \frac{91}{6}$

$V(Y) = E(Y^2) - (E(Y))^2 = \frac{91}{6} - (\frac{7}{2})^2 = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{182-147}{12} = \frac{35}{12}$

$X$と$Y$は独立なので、

$V(2X + 6Y) = 2^2V(X) + 6^2V(Y) = 4V(X) + 36V(Y) = 4 \cdot \frac{9}{2} + 36 \cdot \frac{35}{12} = 18 + 3 \cdot 35 = 18 + 105 = 123$

3. 最終的な答え

$2X+6Y$ の分散は $123$ である。