平行四辺形ABCDにおいて、辺CDを1:2に内分する点をE, 対角線BDを3:2に内分する点をFとする。このとき、3点A, F, Eが一直線上にあることを証明する問題です。

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、辺CDを1:2に内分する点をE, 対角線BDを3:2に内分する点をFとする。このとき、3点A, F, Eが一直線上にあることを証明する問題です。

2. 解き方の手順

ベクトルを用いて証明します。

$\vec{AB} = \vec{b}$, $\vec{AD} = \vec{d}$ とします。

点Eは辺CDを1:2に内分するので、

$\vec{AE} = \vec{AD} + \vec{DE} = \vec{AD} + \frac{1}{3} \vec{DC} = \vec{d} + \frac{1}{3} \vec{b}$

点Fは対角線BDを3:2に内分するので、

$\vec{AF} = \frac{2\vec{AB} + 3\vec{AD}}{3+2} = \frac{2\vec{b} + 3\vec{d}}{5} = \frac{2}{5}\vec{b} + \frac{3}{5}\vec{d}$

3点A, F, Eが一直線上にあることを示すには、$\vec{AE} = k\vec{AF}$ （kは実数）と表せることを示せば良いです。

$\vec{AE} = \vec{d} + \frac{1}{3}\vec{b} = \frac{1}{3}\vec{b} + \vec{d}$

$\vec{AF} = \frac{2}{5}\vec{b} + \frac{3}{5}\vec{d}$ より、$\vec{b} = \frac{5}{2} \vec{AF} - \frac{3}{2}\vec{d}$

これを$\vec{AE}$に代入すると、

$\vec{AE} = \frac{1}{3}(\frac{5}{2} \vec{AF} - \frac{3}{2}\vec{d}) + \vec{d} = \frac{5}{6} \vec{AF} - \frac{1}{2}\vec{d} + \vec{d} = \frac{5}{6} \vec{AF} + \frac{1}{2}\vec{d}$

$\vec{AF}$を$\vec{AE}$で表すと、

$\vec{AF} = \frac{5}{6} \vec{AF} + \frac{1}{2}\vec{d}$を変形して$\vec{d}$を求めると、

$\frac{3}{5}\vec{AF} = \vec{d}$となる。

再度$\vec{AE}$を計算し直します。

$\vec{AE} = x\vec{AF}$ となるxを求めたい。

$\vec{d} + \frac{1}{3} \vec{b} = x (\frac{2}{5}\vec{b} + \frac{3}{5}\vec{d})$

$\vec{d} + \frac{1}{3} \vec{b} = \frac{2x}{5}\vec{b} + \frac{3x}{5}\vec{d}$

係数を比較して

$\frac{1}{3} = \frac{2x}{5}$ より $x = \frac{5}{6}$

$1 = \frac{3x}{5}$ より $x = \frac{5}{3}$

計算が間違っているので、修正します。

$\vec{AE} = k\vec{AF}$ を示したい。

$\vec{AE} = \frac{1}{3}\vec{b} + \vec{d}$

$\vec{AF} = \frac{2}{5}\vec{b} + \frac{3}{5}\vec{d}$

$\vec{AE} = k\vec{AF}$ より、

$\frac{1}{3}\vec{b} + \vec{d} = k(\frac{2}{5}\vec{b} + \frac{3}{5}\vec{d})$

$\frac{1}{3}\vec{b} + \vec{d} = \frac{2k}{5}\vec{b} + \frac{3k}{5}\vec{d}$

係数を比較して

$\frac{1}{3} = \frac{2k}{5}$ より $k = \frac{5}{6}$

$1 = \frac{3k}{5}$ より $k = \frac{5}{3}$

矛盾が発生するため、$\vec{b}$ と $\vec{d}$ は一次独立ではないことが考えられます。

別の解法を検討します。

$\vec{OA} = \vec{a}$ を基準点として、

$\vec{OE} = \vec{OA} + \vec{AE}$

$\vec{AE} = \vec{d} + \frac{1}{3} \vec{b}$

$\vec{OE} = \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} + \vec{d}$

$\vec{OF} = \vec{OA} + \vec{AF}$

$\vec{AF} = \frac{2}{5}\vec{b} + \frac{3}{5}\vec{d}$

$\vec{OF} = \vec{a} + \frac{2}{5}\vec{b} + \frac{3}{5}\vec{d}$

$\vec{AF} = k\vec{AE}$ を仮定します。

$\vec{AF} = \vec{OF} - \vec{OA} = \frac{2}{5}\vec{b} + \frac{3}{5}\vec{d}$

$\vec{AE} = \vec{OE} - \vec{OA} = \frac{1}{3}\vec{b} + \vec{d}$

$\frac{2}{5}\vec{b} + \frac{3}{5}\vec{d} = t(\frac{1}{3}\vec{b} + \vec{d})$とおくと、

$\frac{2}{5} = \frac{t}{3}$, $\frac{3}{5} = t$

$t = \frac{6}{5}$, $t = \frac{3}{5}$

矛盾が発生します。

$\vec{AE} = t \vec{AF}$

$\frac{1}{3}\vec{AB} + \vec{AD} = t(\frac{2}{5} \vec{AB} + \frac{3}{5} \vec{AD})$

$\frac{1}{3} = \frac{2}{5} t$ より $t = \frac{5}{6}$

$1 = \frac{3}{5} t$ より $t = \frac{5}{3}$

$t$が一致しないため、一直線上にはありません。

$\vec{OE} = s\vec{OA} + t\vec{OF}$ かつ $s+t=1$

$\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b} + \vec{d} = s\vec{a} + t (\vec{a} + \frac{2}{5}\vec{b} + \frac{3}{5}\vec{d})$

$\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b} + \vec{d} = (s+t)\vec{a} + \frac{2t}{5} \vec{b} + \frac{3t}{5} \vec{d}$

$s+t = 1$, $\frac{1}{3} = \frac{2t}{5}$, $1 = \frac{3t}{5}$

$t = \frac{5}{3}$, $t = \frac{5}{6}$, $t = \frac{5}{3}$

別の解法

点Aを原点とする位置ベクトルで考えます。

$\vec{b}$と$\vec{d}$を用いて表すと

$\vec{AE} = \frac{1}{3}\vec{AB} + \vec{AD} = \frac{1}{3}\vec{b} + \vec{d}$

$\vec{AF} = \frac{2}{5}\vec{AB} + \frac{3}{5}\vec{AD} = \frac{2}{5}\vec{b} + \frac{3}{5}\vec{d}$

この時、A,F,Eが同一直線上にあるには、ある実数kを用いて

$\vec{AE} = k\vec{AF}$

$\frac{1}{3}\vec{b} + \vec{d} = k(\frac{2}{5}\vec{b} + \frac{3}{5}\vec{d})$

$\frac{1}{3}\vec{b} + \vec{d} = \frac{2k}{5}\vec{b} + \frac{3k}{5}\vec{d}$

$\frac{1}{3} = \frac{2k}{5}$より、$k = \frac{5}{6}$

$1 = \frac{3k}{5}$より、$k = \frac{5}{3}$

kの値が一致しないので、3点A, F, Eは同一直線上にない。

3. 最終的な答え

3点A, F, Eは一直線上にない。