$\triangle OAB$ において、辺 $OA$ の中点を $C$ 、辺 $OB$ を $2:1$ に内分する点を $D$ とし、線分 $AD$ と線分 $BC$ の交点を $P$ とする。$\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$ とするとき、$\vec{OP}$ を $\vec{a}$, $\vec{b}$ を用いて表せ。

1. 問題の内容

$\triangle OAB$ において、辺 $OA$ の中点を $C$ 、辺 $OB$ を $2:1$ に内分する点を $D$ とし、線分 $AD$ と線分 $BC$ の交点を $P$ とする。$\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$ とするとき、$\vec{OP}$ を $\vec{a}$, $\vec{b}$ を用いて表せ。

2. 解き方の手順

まず、点 $P$ が線分 $AD$ 上にあることから、実数 $s$ を用いて、

$\vec{OP} = (1-s)\vec{OA} + s\vec{OD}$

と表せる。ここで、$\vec{OA} = \vec{a}$ であり、$OD:DB = 2:1$ より、

$\vec{OD} = \frac{2}{3}\vec{OB} = \frac{2}{3}\vec{b}$

であるから、

$\vec{OP} = (1-s)\vec{a} + s\frac{2}{3}\vec{b}$

$\vec{OP} = (1-s)\vec{a} + \frac{2s}{3}\vec{b}$

と表せる。

次に、点 $P$ が線分 $BC$ 上にあることから、実数 $t$ を用いて、

$\vec{OP} = (1-t)\vec{OB} + t\vec{OC}$

と表せる。ここで、$\vec{OB} = \vec{b}$ であり、$C$ は $OA$ の中点より、

$\vec{OC} = \frac{1}{2}\vec{OA} = \frac{1}{2}\vec{a}$

であるから、

$\vec{OP} = (1-t)\vec{b} + t\frac{1}{2}\vec{a}$

$\vec{OP} = \frac{t}{2}\vec{a} + (1-t)\vec{b}$

と表せる。

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ は一次独立なので、

$1-s = \frac{t}{2}$

$\frac{2s}{3} = 1-t$

という連立方程式が成り立つ。これを解く。

一つ目の式より、$t = 2(1-s)$。これを二つ目の式に代入すると、

$\frac{2s}{3} = 1 - 2(1-s)$

$\frac{2s}{3} = 1 - 2 + 2s$

$\frac{2s}{3} = -1 + 2s$

$2s = -3 + 6s$

$4s = 3$

$s = \frac{3}{4}$

となる。よって、

$t = 2(1-\frac{3}{4}) = 2(\frac{1}{4}) = \frac{1}{2}$

である。

$\vec{OP} = (1-s)\vec{a} + \frac{2s}{3}\vec{b}$ に $s = \frac{3}{4}$ を代入すると、

$\vec{OP} = (1-\frac{3}{4})\vec{a} + \frac{2}{3}(\frac{3}{4})\vec{b}$

$\vec{OP} = \frac{1}{4}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}$

3. 最終的な答え

$\vec{OP} = \frac{1}{4}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}$