鋭角三角形 $ABC$ において、頂点 $B, C$ からそれぞれの向かい合う辺 $AC, AB$ に下ろした垂線の交点を $H$ とする。このとき、$AH \perp BC$ であることをベクトルを用いて証明する。

1. 問題の内容

鋭角三角形 $ABC$ において、頂点 $B, C$ からそれぞれの向かい合う辺 $AC, AB$ に下ろした垂線の交点を $H$ とする。このとき、$AH \perp BC$ であることをベクトルを用いて証明する。

2. 解き方の手順

$\vec{a} = \vec{OA}, \vec{b} = \vec{OB}, \vec{c} = \vec{OC}$ とする。$H$は頂点$B, C$からそれぞれの向かい合う辺 $AC, AB$ に下ろした垂線の交点なので、

$BH \perp AC$, $CH \perp AB$ が成立する。

$\vec{OH} = \vec{h}$とおくと、

$\vec{BH} = \vec{h} - \vec{b}$

$\vec{AC} = \vec{c} - \vec{a}$

$BH \perp AC$ より $(\vec{h}-\vec{b}) \cdot (\vec{c}-\vec{a}) = 0$

$\vec{CH} = \vec{h} - \vec{c}$

$\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}$

$CH \perp AB$ より $(\vec{h}-\vec{c}) \cdot (\vec{b}-\vec{a}) = 0$

$(\vec{h}-\vec{b}) \cdot (\vec{c}-\vec{a}) = 0$ より $\vec{h} \cdot (\vec{c}-\vec{a}) - \vec{b} \cdot (\vec{c}-\vec{a}) = 0$

$\vec{h} \cdot \vec{c} - \vec{h} \cdot \vec{a} - \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{a} = 0$ ...(1)

$(\vec{h}-\vec{c}) \cdot (\vec{b}-\vec{a}) = 0$ より $\vec{h} \cdot (\vec{b}-\vec{a}) - \vec{c} \cdot (\vec{b}-\vec{a}) = 0$

$\vec{h} \cdot \vec{b} - \vec{h} \cdot \vec{a} - \vec{c} \cdot \vec{b} + \vec{c} \cdot \vec{a} = 0$ ...(2)

(1) - (2) より $\vec{h} \cdot \vec{c} - \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{a} - \vec{h} \cdot \vec{b} + \vec{c} \cdot \vec{b} - \vec{c} \cdot \vec{a} = 0$

$\vec{h} \cdot \vec{c} - \vec{h} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{a} - \vec{c} \cdot \vec{a} = 0$

$\vec{h} \cdot (\vec{c}-\vec{b}) - \vec{a} \cdot (\vec{c}-\vec{b}) = 0$

$(\vec{h} - \vec{a}) \cdot (\vec{c}-\vec{b}) = 0$

$\vec{AH} \cdot \vec{BC} = 0$

したがって、$AH \perp BC$ である。

3. 最終的な答え

$AH \perp BC$