不等式 $2x^2 + 3y^2 \geq 4xy$ が常に成り立つことを証明する問題です。

1. 問題の内容

不等式 $2x^2 + 3y^2 \geq 4xy$ が常に成り立つことを証明する問題です。

2. 解き方の手順

与えられた不等式を整理し、平方完成を利用して証明します。

まず、不等式の右辺を左辺に移項します。

$2x^2 + 3y^2 - 4xy \geq 0$

次に、$x$について整理します。

$2x^2 - 4xy + 3y^2 \geq 0$

$2(x^2 - 2xy) + 3y^2 \geq 0$

$2(x^2 - 2xy + y^2 - y^2) + 3y^2 \geq 0$

$2((x-y)^2 - y^2) + 3y^2 \geq 0$

$2(x-y)^2 - 2y^2 + 3y^2 \geq 0$

$2(x-y)^2 + y^2 \geq 0$

ここで、$2(x-y)^2 \geq 0$ かつ $y^2 \geq 0$ であるため、$2(x-y)^2 + y^2 \geq 0$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

$2x^2 + 3y^2 \geq 4xy$ は常に成り立つ。