放物線を $x$ 軸方向に $2$, $y$ 軸方向に $-3$ だけ平行移動し、さらに $x$ 軸に関して対称移動したとき、放物線 $y = -2x^2 - 3x + 4$ になった。もとの放物線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

放物線を $x$ 軸方向に $2$, $y$ 軸方向に $-3$ だけ平行移動し、さらに $x$ 軸に関して対称移動したとき、放物線 $y = -2x^2 - 3x + 4$ になった。もとの放物線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x$軸に関して対称移動した放物線を逆向きに$x$軸に関して対称移動します。これは、$y$ を $-y$ に置き換えることで行います。

$$-y = -2x^2 - 3x + 4$$

$$y = 2x^2 + 3x - 4$$

次に、平行移動を逆向きに行います。$x$軸方向に $-2$ 、$y$軸方向に $+3$ 平行移動するので、$x$ を $x+2$ 、$y$ を $y-3$ に置き換えます。

$$y - 3 = 2(x+2)^2 + 3(x+2) - 4$$

$$y = 2(x^2 + 4x + 4) + 3x + 6 - 4 + 3$$

$$y = 2x^2 + 8x + 8 + 3x + 5$$

$$y = 2x^2 + 11x + 13$$

3. 最終的な答え

もとの放物線の方程式は $y = 2x^2 + 11x + 13$ です。