$a$ を正の定数とする。不等式 $|x-2| < a$ を満たす整数 $x$ がちょうど 5 個存在するような $a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

$a$ を正の定数とする。不等式 $|x-2| < a$ を満たす整数 $x$ がちょうど 5 個存在するような $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、不等式 $|x-2| < a$ を解きます。これは $-a < x-2 < a$ と同値であり、各辺に 2 を加えると、

$$2 - a < x < 2 + a$$

となります。この不等式を満たす整数 $x$ がちょうど 5 個存在するためには、 $2-a$ と $2+a$ の間の整数が 5 個である必要があります。

$x$ が整数であることから、$x$ の値は $2$ を中心に対称に並んでいるはずです。したがって、整数 $x$ の値は $2-2, 2-1, 2, 2+1, 2+2$ すなわち $0, 1, 2, 3, 4$ となります。

したがって、$2-a < 0$ かつ $4 < 2+a$ でなければなりません。また、$2-a$ は $x=-1$ より大きく、$2+a$ は $x=5$ より小さくなければなりません。すなわち、 $-1 \le 2-a$ と $2+a \le 5$ は不適当です。

$2-a < x < 2+a$ を満たす整数が $0, 1, 2, 3, 4$ の 5 個であるためには、次の不等式が成り立ちます。

$$-1 \le 2-a < 0$$

$$4 < 2+a \le 5$$

$$-1 \le 2-a \implies a \le 3$$

$$2-a < 0 \implies 2 < a$$

$$4 < 2+a \implies 2 < a$$

$$2+a \le 5 \implies a \le 3$$

しかし、この範囲では整数解が 5 つになりません。整数解が 5 つであるためには、$2-a$ は $-1$ より大きく、0 以下でなければならず、$2+a$ は 4 より大きく 5 以下でなければなりません。

$$2-a > -1$$

$$2-a \le 0$$

$$2+a > 4$$

$$2+a \le 5$$

よって、

$2 < a$ かつ $a < 3$ であり、 $a>2$ と $a<3$ です。したがって、$4 < 2+a$ と $-1 > 2-a$ が必要です。

$$2-a > -1 \implies a < 3$$

$$2+a > 4 \implies a > 2$$

整数が 5 個になるためには、$4<2+a \le 5$ かつ $-1 \ge 2-a > -2$ が成り立つ必要があります。

$$2 < a \le 3$$

$$a > 2$$

$$2-a > -1 \implies a < 3$$

$$2-a \le -2 \implies a \ge 4$$

これらは同時に成り立つことはありません。

整数解が $0,1,2,3,4$ となるためには、$2-a$ が $-1$ より大きく $0$ 以下でなければならず、$2+a$ は $4$ より大きく $5$ 以下でなければなりません。

$$-1 < 2-a \le 0$$

$$4 < 2+a \le 5$$

これらの不等式を解くと、

$$2 < a < 3$$

$$a = 3$$

となります。したがって、$a$ の範囲は、$2 < a \le 3$ となります。

厳密に考えるには、$2 < a < 3$ の場合、解は $2-a < x < 2+a$ です。$a=2.5$ とすると、 $-0.5 < x < 4.5$ であり、整数解は $0,1,2,3,4$ となります。

$a=3$ とすると、 $-1 < x < 5$ であり、整数解は $0,1,2,3,4$ となります。

$a=3.1$ とすると、$-1.1 < x < 5.1$ であり、整数解は $-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5$ となり、7個になります。

したがって、$2 < a \le 3$ が正しい範囲です。

$2<a<3$ならば、-1より大きく0以下，4より大きく5以下の範囲に収まるので、5個存在します。

$a=3$ならば、-1より大きく5以下なので、5個存在します。

3. 最終的な答え

$2 < a \le 3$