$(a+b)^4$ を展開せよ。

1. 問題の内容

$(a+b)^4$ を展開せよ。

2. 解き方の手順

二項定理を用いて展開する。二項定理は、

$(x+y)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} x^{n-k} y^k$

と表される。ここで $\binom{n}{k}$ は二項係数であり、

$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

と定義される。

今回の問題では、$x = a, y = b, n = 4$ である。

したがって、

$(a+b)^4 = \binom{4}{0}a^4b^0 + \binom{4}{1}a^3b^1 + \binom{4}{2}a^2b^2 + \binom{4}{3}a^1b^3 + \binom{4}{4}a^0b^4$

となる。

二項係数を計算すると、

$\binom{4}{0} = \frac{4!}{0!4!} = 1$

$\binom{4}{1} = \frac{4!}{1!3!} = 4$

$\binom{4}{2} = \frac{4!}{2!2!} = 6$

$\binom{4}{3} = \frac{4!}{3!1!} = 4$

$\binom{4}{4} = \frac{4!}{4!0!} = 1$

となる。

したがって、

$(a+b)^4 = 1 \cdot a^4 \cdot 1 + 4 \cdot a^3 \cdot b + 6 \cdot a^2 \cdot b^2 + 4 \cdot a \cdot b^3 + 1 \cdot 1 \cdot b^4$

$(a+b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$

3. 最終的な答え

$a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$