(1) 関数 $y = f(x)$ ($ -1 \le x \le 4 $) のグラフが与えられたとき、この関数の最大値と最小値を求め、そのときの $x$ の値を求める。 (2) (1) $y = x^2 + 4x + 1$ のグラフを描き、軸と頂点を求める。 (2) $y = x^2 + 4x + 1$ ($ -3 \le x \le 0 $) の最大値と最小値を求め、そのときの $x$ の値を求める。 (3) $y = -2x^2 + 4x + 3$ のグラフを描き、軸と頂点を求める。

1. 問題の内容

(1) 関数 $y = f(x)$ ($-1 \le x \le 4$) のグラフが与えられたとき、この関数の最大値と最小値を求め、そのときの $x$ の値を求める。

(2)

(1) $y = x^2 + 4x + 1$ のグラフを描き、軸と頂点を求める。

(2) $y = x^2 + 4x + 1$ ($-3 \le x \le 0$) の最大値と最小値を求め、そのときの $x$ の値を求める。

(3) $y = -2x^2 + 4x + 3$ のグラフを描き、軸と頂点を求める。

2. 解き方の手順

(1) グラフから最大値と最小値を読み取る。

最大値は $y=2$ で、その時の $x=-1$。

最小値は $y=-3$ で、その時の $x=3$。

(2)

(1) $y = x^2 + 4x + 1$ を平方完成する。

$y = x^2 + 4x + 4 - 4 + 1 = (x+2)^2 - 3$

よって、頂点は $(-2, -3)$、軸は $x = -2$。

グラフは、頂点を $(-2,-3)$ とし、下に凸な放物線を描く。

$y$軸との交点は $(0, 1)$。

(2) $y = x^2 + 4x + 1 = (x+2)^2 - 3$ の $-3 \le x \le 0$ における最大値と最小値を求める。

軸 $x = -2$ は範囲内にある。

$x = -2$ のとき、最小値 $y = -3$ をとる。

$x = -3$ のとき、 $y = (-3+2)^2 - 3 = 1 - 3 = -2$

$x = 0$ のとき、 $y = (0+2)^2 - 3 = 4 - 3 = 1$

よって、最大値は $1$ ($x = 0$ のとき) で、最小値は $-3$ ($x = -2$ のとき)。

(3) $y = -2x^2 + 4x + 3$ を平方完成する。

$y = -2(x^2 - 2x) + 3 = -2(x^2 - 2x + 1 - 1) + 3 = -2(x-1)^2 + 2 + 3 = -2(x-1)^2 + 5$

よって、頂点は $(1, 5)$、軸は $x = 1$。

グラフは、頂点を $(1,5)$ とし、上に凸な放物線を描く。

$y$軸との交点は $(0, 3)$。

3. 最終的な答え

(1) 最大値: 2 ($x = -1$)、最小値: -3 ($x = 3$)

(2)

(1) 軸: $x = -2$、頂点: $(-2, -3)$

(2) 最大値: 1 ($x = 0$)、最小値: -3 ($x = -2$)

(3) 軸: $x = 1$、頂点: $(1, 5)$