与えられた条件を満たす2次関数を求める問題と、与えられた2次関数の頂点の座標を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた条件を満たす2次関数を求める問題と、与えられた2次関数の頂点の座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 頂点が(2,-3)で点(1,-1)を通る2次関数を求める。

* 頂点の座標が与えられているので、2次関数を $y = a(x-2)^2 - 3$ とおく。

* 点(1,-1)を通るので、x=1, y=-1を代入して、aを求める。

* $-1 = a(1-2)^2 - 3$

* $-1 = a - 3$

* $a = 2$

* よって、2次関数は $y = 2(x-2)^2 - 3$

* 展開して $y = 2(x^2 - 4x + 4) - 3 = 2x^2 - 8x + 8 - 3 = 2x^2 - 8x + 5$

(2) 頂点が(2,-1)で点(0,3)を通る2次関数を求める。

* 頂点の座標が与えられているので、2次関数を $y = a(x-2)^2 - 1$ とおく。

* 点(0,3)を通るので、x=0, y=3を代入して、aを求める。

* $3 = a(0-2)^2 - 1$

* $3 = 4a - 1$

* $4a = 4$

* $a = 1$

* よって、2次関数は $y = (x-2)^2 - 1$

* 展開して $y = x^2 - 4x + 4 - 1 = x^2 - 4x + 3$

(3) 3点(0,3), (1,0), (2,-1)を通る2次関数を求める。

* 2次関数を $y = ax^2 + bx + c$ とおく。

* 各点の座標を代入して、連立方程式を立てる。

* (0,3): $3 = a(0)^2 + b(0) + c \Rightarrow c = 3$

* (1,0): $0 = a(1)^2 + b(1) + c \Rightarrow a + b + c = 0$

* (2,-1): $-1 = a(2)^2 + b(2) + c \Rightarrow 4a + 2b + c = -1$

* $c = 3$ を代入して、

* $a + b + 3 = 0 \Rightarrow a + b = -3$

* $4a + 2b + 3 = -1 \Rightarrow 4a + 2b = -4 \Rightarrow 2a + b = -2$

* $2a + b = -2$ から $a + b = -3$ を引くと、$a = 1$

* $a = 1$ を $a + b = -3$ に代入すると、$1 + b = -3 \Rightarrow b = -4$

* よって、$a = 1, b = -4, c = 3$ なので、$y = x^2 - 4x + 3$

(4) 3点(-1,0), (1,6), (2,6)を通る2次関数を求める。

* 2次関数を $y = ax^2 + bx + c$ とおく。

* 各点の座標を代入して、連立方程式を立てる。

* (-1,0): $0 = a(-1)^2 + b(-1) + c \Rightarrow a - b + c = 0$

* (1,6): $6 = a(1)^2 + b(1) + c \Rightarrow a + b + c = 6$

* (2,6): $6 = a(2)^2 + b(2) + c \Rightarrow 4a + 2b + c = 6$

* $a - b + c = 0$ と $a + b + c = 6$ を足すと、$2a + 2c = 6 \Rightarrow a + c = 3 \Rightarrow c = 3 - a$

* $a + b + c = 6$ と $4a + 2b + c = 6$ から、$3a + b = 0 \Rightarrow b = -3a$

* $a - b + c = 0$ に $c = 3 - a$ と $b = -3a$ を代入すると、$a - (-3a) + (3 - a) = 0 \Rightarrow 3a + 3 = 0 \Rightarrow a = -1$

* $b = -3a = -3(-1) = 3$

* $c = 3 - a = 3 - (-1) = 4$

* よって、$a = -1, b = 3, c = 4$ なので、$y = -x^2 + 3x + 4$

(5) $y = -2(x+1)^2 - 4$

* この式は頂点形式なので、頂点の座標は $(-1, -4)$

(6) $y = x^2 - 6x + 5$

* 平方完成して頂点形式にする。

* $y = (x^2 - 6x) + 5 = (x^2 - 6x + 9) - 9 + 5 = (x-3)^2 - 4$

* よって、頂点の座標は $(3, -4)$

(7) $y = -x^2 + 4x + 5$

* 平方完成して頂点形式にする。

* $y = -(x^2 - 4x) + 5 = -(x^2 - 4x + 4) + 4 + 5 = -(x-2)^2 + 9$

* よって、頂点の座標は $(2, 9)$

(8) $y = -2x^2 + 8x - 3$

* 平方完成して頂点形式にする。

* $y = -2(x^2 - 4x) - 3 = -2(x^2 - 4x + 4) + 8 - 3 = -2(x-2)^2 + 5$

* よって、頂点の座標は $(2, 5)$

3. 最終的な答え

(1) $y = 2x^2 - 8x + 5$

(2) $y = x^2 - 4x + 3$

(3) $y = x^2 - 4x + 3$

(4) $y = -x^2 + 3x + 4$

(5) $(-1, -4)$

(6) $(3, -4)$

(7) $(2, 9)$

(8) $(2, 5)$