放物線 $y = x^2 - 3x + 4$ を平行移動した放物線で、点 $(2, 4)$ を通り、頂点が直線 $y = 2x + 1$ 上にある放物線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 - 3x + 4$ を平行移動した放物線で、点 $(2, 4)$ を通り、頂点が直線 $y = 2x + 1$ 上にある放物線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた放物線 $y = x^2 - 3x + 4$ を平方完成します。

$y = x^2 - 3x + 4 = (x - \frac{3}{2})^2 - (\frac{3}{2})^2 + 4 = (x - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} + \frac{16}{4} = (x - \frac{3}{2})^2 + \frac{7}{4}$

したがって、元の放物線の頂点は $(\frac{3}{2}, \frac{7}{4})$ です。

求める放物線は、これを平行移動したものであり、その頂点は直線 $y = 2x + 1$ 上にあるので、頂点の座標を $(p, 2p+1)$ とおけます。

よって、求める放物線の方程式は

$y = (x-p)^2 + 2p+1$

と表せます。

この放物線が点 $(2, 4)$ を通るので、$x=2$, $y=4$ を代入すると、

$4 = (2-p)^2 + 2p + 1$

$4 = 4 - 4p + p^2 + 2p + 1$

$0 = p^2 - 2p + 1$

$0 = (p-1)^2$

$p = 1$

したがって、求める放物線の頂点は $(1, 2(1)+1) = (1, 3)$ です。

求める放物線の方程式は

$y = (x - 1)^2 + 3 = x^2 - 2x + 1 + 3 = x^2 - 2x + 4$

となります。

3. 最終的な答え

$y = x^2 - 2x + 4$